1.2. Решение задач на равновесие плоской системы произвольно расположенных сил

План решения задач аналогичен плану решения задач на систему схо­дящихся сил.

Для решения задач на равновесие плоской системы произвольно рас­положенных сил можно пользоваться любой формой уравнений равновесия. Составляя уравнения равновесия, следует учитывать, что мы имеем полную свободу выбора осей координат и центров моментов.

Целесообразно уравнение составлять таким образом, чтобы они могли быть решены наиболее просто и быстро. Просто решается система уравнений равновесия, каждое из которых содержит одну из неизвестных. К такой сис­теме можно прийти соответствующим выбором направления осей координат и центра моментов. В качестве центра моментов следует выбирать точку, где пересекаются, как минимум, две неизвестные силы. В этом случае уравнение моментов относительно этой точки будет содержать только одну неизвест­ную. Направление осей координат хжу рекомендуется выбирать так, чтобы оси были перпендикулярны некоторым неизвестным силам, в связи с чем проекции неизвестных, перпендикулярные соответствующей оси, не войдут в уравнение равновесия.

Определение неизвестных лучше начинать с уравнений моментов, а за­тем переходить к уравнениям проекций и, следовательно, уменьшить вероят­ность ошибок.

Для плоской системы сил можно выбрать любое число осей координат и центров моментов. Проектируя силы данной плоской системы любых то­чек, можно написать сколько угодно уравнений равновесия, но только три из них будут независимыми. Остальные уравнения являются следствием этих трех уравнений и могут служить только для проверки правильности решения.

Пример. На балку, закрепленную в стене, действует сила Р = 5 кН, расположенная под углом 45°, пара сил с моментом М = 8 кНм и равномерно

распределенная нагрузка интен­сивностью q = 1,2 кН/м.

Определить реакции в опоре А. Решение. 1. Заменяем распределенную нагрузку на участке CD ее равнодей­ствующей Q-q-l, приложенной в середине нагруженного участка CD.

2. Освобождаемся от связей, заменяя их реакциями Н_А, V_A и М_А. Чтобы не делать отдельный рисунок, связи можно не отбрасывать, а показывать их на исходной схеме.

3. Выбираем оси ординат и составляем уравнения равновесия:

ΣP_ix = 0; P cos 45°+ Н_А = 0;

ΣP_iy = 0; V_A - P cos 45° - Q = 0;

ΣM_A = 0; P*h +Q * 2.5 l – М – М_А = 0;

4.Из уравнений равновесия находим неизвестные величины:

(из уравнения 1. находим реакцию Н_А).

Н_А = - P cos 45°= - 5 * 0. 707= - 3.54 кН;

(из уравнения 2.находим V_A).

V_A = P cos 45° + Q= 5 * 0.707 + 1.2* 2 = 5.94 кН;

(из уравнения 3. находим момент М)

М = P*h +Q * 2.5 l – М – М_А= P cos 45°l + 2.5 Q l – M_A=5* 0.707 + 1.2* 2- 8 =11.1 кН/м.

5.Для проверки правильности решения используем уравнение равновесия, не используемые при решении:

ΣМ = 0; М_А *l – M – M_A +Q* 1.5 l=0;

5.94 * 2 – 8 -11.1 + 2.4 *1.5 *2 = 0; 0=0;

Так как правые и левые части уравнения равны нулю, значит пример решен правильно.