- •Учебно-методический комплекс дисциплины математика
- •080801 «Прикладная информатика (в экономике)»
- •2. Распределение часов по формам учебных занятий (таблица с титульного листа рабочей программы)
- •3. Общие положения
- •3.1. Учебные и воспитательные задачи
- •3. 2. Формы и методы учебных занятий
- •3.3 Формы контроля знаний
- •Распределение часов по темам и видам учебных занятий (очная форма обучения)
- •Содержание лекционного курса
- •1 Семестр
- •2 Семестр
- •Тема 2. Дифференциальное исчисление, экстремумы функций
- •Тема 3. Интегральное исчисление
- •Тема 4. Дифференциальные уравнения
- •3 Семестр
- •4 Семестр
- •Тема 5. Целочисленное программирование
- •Тема 6. Элементы теории игр
- •Тема 7. Сетевые методы
- •Тема 8. Элементы динамического программирования
- •Тема 9. Элементы системы национальных счетов
- •Содержание семинарских, практических и лабораторных занятий
- •6. Рекомендации по выполнению курсовой работы/курсового проекта:
- •7. Рекомендации по выполнению аудиторных и домашних контрольных работ для студентов всех форм обучения
- •8. Организация самостоятельной работы студентов (график срс)
- •9. Зачетные и экзаменационные вопросы
- •Третий семестр.
- •10. Рейтинговая система оценки знаний по математике
- •8.2 Шкала для оценки знаний студентов по дисциплине
- •11. Список литературы
- •Действия над матрицами
- •Умножение матрицы на число.
- •Сложение матриц.
- •Умножение матриц.
- •Определители матриц второго и третьего порядка
- •Свойства определителей го порядка
- •Обратная матрица
- •Ранг матрицы
- •Формула Крамера
- •Метод Гаусса
- •Комплексные числа Алгебраическая форма комплексного числа
- •Тригонометрическая форма комплексного числа
- •Показательная форма комплексного числа
- •2. Аналитическая геметрия Векторы. Основные понятия
- •Линейные операции над векторами
- •Скалярное произведение векторов и его свойства
- •Векторное произведение векторов и его свойства
- •Смешанное произведение векторов и его свойства
- •Прямая на плоскости
- •Плоскость
- •Прямая в пространстве
- •Прямая и плоскость в пространстве
- •Кривые второго порядка
- •3.Теория пределов Предел последовательности
- •Основные теоремы о пределах
- •Предел функции
- •Основные теоремы о пределах
- •Замечательные пределы
- •Классификация точек разрыва:
- •4. Производная
- •Правила дифференцирования
- •Способы нахождения производной
- •Производные высших порядков
- •Применение производной при исследовании функций Максимум и минимум функции
- •Алгоритм нахождения наибольшего и наименьшего значения функции на отрезке
- •Направление выпуклости. Точки перегиба
- •Асимптоты
- •Построение графиков функции
- •Применение производной при вычислении пределов
- •5. Неопределённый интеграл
- •Свойства неопределенного интеграла
- •Правила вычисления интегралов
- •Методы интегрирования Метод непосредственного интегрирования
- •Метод замены переменной и внесение под знак дифференциала
- •Метод интегрирования по частям
- •Интегрирование рациональных дробей
- •Интегралы от тригонометрических функций
- •Интегрирование некоторых иррациональных функций с помощью тригонометрических подстановок
- •6. Определённый интеграл
- •Основные свойства определенного интеграла
- •Замена переменной в определенном интеграле
- •Приложения определенного интеграла Вычисление площади
- •Вычисление длины дуги кривой
- •7. Дифференциальные уравнения
- •Однородные уравнения
- •Линейные уравнения
- •Уравнение Бернулли
- •Уравнение в полных дифференциалах
- •Линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами
- •Линейные однородные дифференциальные уравнения
- •Линейные неоднородные дифференциальные уравнения
- •8. Ряды
- •Свойства сходящихся рядов
- •Достаточные признаки сходимости знакоположительных рядов
- •Знакопеременные ряды
- •Свойства абсолютно и условно сходящихся рядов
- •Функциональные ряды
- •Степенные ряды
- •Ряды Тейлора и Маклорена
- •Разложение некоторых элементарных функций в ряд Маклорена
- •Вариант 1
- •Вариант 2
Линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами
Определение. Дифференциальное уравнение n-ого порядка называется линейным, если оно первой степени относительно исходной функции y(x) и ее производных
, где .
Если являются постоянными числами, то уравнение называется линейным дифференциальным уравнением n-ого порядка с постоянными коэффициентами.
Если , то указанное выше уравнение называется линейным однородным, а в случае – неоднородным линейным дифференциальным уравнением n-ого порядка.
Линейные однородные дифференциальные уравнения
Рассмотрим линейное однородное дифференциальное уравнение n-ого порядка с постоянными коэффициентами:
.
Теорема. Если являются линейно независимыми решениями линейного однородного дифференциального уравнения n-ого порядка с постоянными коэффициентами, то общее решение этого уравнения имеет вид , где – произвольные постоянные.
Для нахождения линейно независимых решений линейного однородного дифференциального уравнения n-ого порядка необходимо выполнить следующие действия:
1. Составляем характеристическое уравнение:
2. Находим корни этого характеристического уравнения: ;
3. По характеру корней выписываем частные линейно независимые решения, руководствуясь тем, что:
а) каждому действительному однократному корню соответствует частное решение ;
б) каждой паре комплексных сопряженных однократных корней соответствуют два частных действительных решения: и ;
в) каждому действительному корню k кратности r соответствуют r линейно независимых частных решений: ;
г) каждой паре комплексных сопряженных корней кратности соответствуют 2 действительных частных решений:
,
.
Этих частных решений будет ровно столько, какова степень характеристического уравнения. Самостоятельно основываясь на определении линейной независимости для функций, предлагается убедиться, что полученные частные решения будут линейно независимыми.
4. Получив n линейно независимых частных решений , строим общее решение исходного линейного однородного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами: .
Пример 6. .
Решение. Составляем характеристическое уравнение:
.
Записываем линейно независимые частные решения
.
Получаем общее решение : .
Линейные неоднородные дифференциальные уравнения
Рассмотрим неоднородное линейное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами .
Теорема. Общее решение неоднородного уравнения равно сумме общего решения соответствующего однородного уравнения и частного решения неоднородного уравнения :
.
Для отыскания частного решения неоднородного дифференциального уравнения существует два способа. Первый способ (он является универсальным) называют методом вариации произвольных постоянных, а второй – подбором частного решения по виду правой части неоднородного уравнения.
Метод вариации произвольных постоянных заключается в том, что величины в общем решении однородного уравнения считают не постоянными, а функциями от х. При этом они должны удовлетворять системе уравнений:
Эта система имеет единственное решение.
Окончательно, выражение будет является общим решением исходного неоднородного дифференциального уравнения, где получаем при решении системы дифференциальных уравнений, указанной выше.
Пример 7. .
Решение. Найдем общее решение однородного уравнения :
Составляем систему уравнений для нахождения и :
Окончательно получаем общее решение неоднородного уравнения:
Подбор частного решения по виду правой части неоднородного уравнения заключается в следующем. Допустим, что правая часть неоднородного уравнения имеет структуру:
,
где и – многочлены степени n и m соответственно.
Частное решение неоднородного уравнения строим в виде:
.
Имея конкретную функцию правой части неоднородного дифференциального уравнения, определяем значения величин n, m, α, β.
Параметры структуры частного решения неоднородного дифференциального уравнения учн: μ, е, α, β, определяются следующим образом: значения α и β в структуре частного решения учн совпадают с α и β в структуре правой части исходного неоднородного дифференциального уравнения. Если значение совпадает со значением корня характеристического уравнения соответствующего однородного дифференциального уравнения, то μ равно значению кратности этого корня, в противном случае Величина , а сами многочлены и записываются в общем виде с неизвестными коэффициентами, которые определяются из условия, что частное решение учн должно удовлетворять исходному неоднородному линейному дифференциальному уравнению.
Пример 8. .
Решение. Характеристическое уравнение соответствующего однородного уравнения имеет вид:
В соответствии с корнями характеристического уравнения, общее решение однородного уравнения будет иметь вид:
.
Исходя из вида правой части данного уравнения, получаем:
Значение совпадает с корнем характеристического уравнения. Кратность этого корня равна 1. Поэтому , Тогда многочлены и представляют собой многочлены нулевой степени с неизвестными коэффициентами, которые можно записать так:
Таким образом, структура частного решения неоднородного уравнения принимает вид: .
Находим все производные от учн, входящие в исходное уравнение:
Подставляем выражение и в исходное уравнение:
,
.
Из последнего, требуя выполнения тождества, находим:
Частное решение принимает вид: , а общим решением неоднородного уравнения будет