3.Теория пределов Предел последовательности

Рассмотрим два множества Х и Y.

Определение. Переменная у называется функцией от переменной х (записывается это так: ), если по некоторому закону (правилу) каждому значению х из множества Х поставлено в соответствие одно определенное значение у из множества Y. При этом переменную х называют аргументом функции (или независимой переменной), а переменную у – функцией (зависимой переменной). Множество Х называют областью определения функции, а множество Y – областью значения функции.

Определение. Числовой последовательностью называется числовая функция, заданная на множестве натуральных чисел.

Числовую последовательность обозначают , при этом называют элементом последовательности. Последовательность может содержать как конечное, так и бесконечное число элементов.

Примеры записи соответственно конечной и бесконечной последовательностей:

1)

2)

Различают следующие виды числовых последовательностей:

• монотонные;

• немонотонные;

• ограниченные;

• неограниченные.

Определение. Последовательность называется монотонно возрастающей, если в ней каждый последующий элемент больше предыдущего: . Например: .

Аналогичное определение можно дать и для монотонно убывающей последовательности (дайте его самостоятельно).

Определение. Последовательность называется немонотонной, если в ней существует хотя бы два элемента и (n > m), что выполняется неравенство , и хотя бы два элемента и (p > q), для которых выполняется условие , причем не все элементы равны между собой. Например: {2; 1,5; 4; 7; 9; 10}.

Определение. Последовательность называется ограниченной, если можно указать такое положительное число K, что для всех элементов этой последовательности выполняется неравенство В противном случае она называется неограниченной.

Определение. Последовательность называется ограниченной сверху, если существует такое число k, для которого все элементы последовательности удовлетворяют неравенству

Аналогичное определение ограниченной снизу последовательности предлагается сделать самостоятельно.

Определение. Число А называется пределом последовательности (записывается это так: ), если для любого сколь угодно малого положительного значения существует такое натуральное число N, зависящее от , что все элементы данной последовательности, номера которых n > N, удовлетворяют неравенству:

При этом такая последовательность называется сходящейся, в противном случае – расходящейся.

Последнее неравенство можно расписать по определению:

Интервал с центром в точке А называют -окрест­ностью (эпсилон-окрестностью) этой точки.

Геометрически существование предела последовательности означает: какую бы малую окрестность точки А ни взяли, все элементы последовательности , начиная с некоторого номера , должны попасть в эту окрестность:

Основные теоремы о пределах

Теорема 1. Сходящаяся последовательность имеет только один предел.

Теорема 2. Если – сходящаяся последовательность, С = const, то

Теорема 3. Если и – сходящиеся последовательности, то

.

Теорема 4. Если и – сходящиеся последовательности, то

.

Теорема 5. Если и – сходящиеся последовательности и при этом то

Рассмотрим наиболее часто встречающиеся приемы вычисления пределов последовательностей.

Пример 1. .

Решение. При подстановке предельного значения получаем выражение, символически обозначаемое , являющееся неопределенностью.

Степень многочлена в знаменателе равна четырем. Поэтому вынесем из числителя и знаменателя и сократим дробь

.

Применяя основные теоремы о пределах и учитывая, что предел каждой из дробей , в числителе которой константа, а в знаменателе , равен нулю, получим

Пример 2.

Решение. Напомним, что символом (эн-факториал) обозначается произведение всех натуральных чисел от 1 до п: Например, Кроме того, полагается, что

Распишем факториалы:

Пример 3. .

Решение. При подстановке предельного значения получаем выражение, символически обозначаемое , являющееся неопределенностью. Выполним тождественное преобразование выражения данного примера и используем соответствующие теоремы о сходящихся последовательностях:

Замечание. Проделанная операция избавления от радикалов в числителе называется умножением на сопряженное выражение и опирается на формулы сокращенного умножения (вспомните их!). Если выражение для имеет вид , то решение задачи в большинстве случаев нужно начинать с домножения его на (и, разумеется, одновременно поделить его на то же самое выражение). Если же выражение для имеет вид , то помогает умножение на выражение вида Для выражения вида в общем случае сопряженным будет

Пример 4.

Решение. Выполним ряд тождественных преобразований:

Пример 5.

Решение. Рассмотрим дробь , которую можно представить в виде: С учетом последнего, выражение данного предела принимает вид: