- •Учебно-методический комплекс дисциплины математика
- •080801 «Прикладная информатика (в экономике)»
- •2. Распределение часов по формам учебных занятий (таблица с титульного листа рабочей программы)
- •3. Общие положения
- •3.1. Учебные и воспитательные задачи
- •3. 2. Формы и методы учебных занятий
- •3.3 Формы контроля знаний
- •Распределение часов по темам и видам учебных занятий (очная форма обучения)
- •Содержание лекционного курса
- •1 Семестр
- •2 Семестр
- •Тема 2. Дифференциальное исчисление, экстремумы функций
- •Тема 3. Интегральное исчисление
- •Тема 4. Дифференциальные уравнения
- •3 Семестр
- •4 Семестр
- •Тема 5. Целочисленное программирование
- •Тема 6. Элементы теории игр
- •Тема 7. Сетевые методы
- •Тема 8. Элементы динамического программирования
- •Тема 9. Элементы системы национальных счетов
- •Содержание семинарских, практических и лабораторных занятий
- •6. Рекомендации по выполнению курсовой работы/курсового проекта:
- •7. Рекомендации по выполнению аудиторных и домашних контрольных работ для студентов всех форм обучения
- •8. Организация самостоятельной работы студентов (график срс)
- •9. Зачетные и экзаменационные вопросы
- •Третий семестр.
- •10. Рейтинговая система оценки знаний по математике
- •8.2 Шкала для оценки знаний студентов по дисциплине
- •11. Список литературы
- •Действия над матрицами
- •Умножение матрицы на число.
- •Сложение матриц.
- •Умножение матриц.
- •Определители матриц второго и третьего порядка
- •Свойства определителей го порядка
- •Обратная матрица
- •Ранг матрицы
- •Формула Крамера
- •Метод Гаусса
- •Комплексные числа Алгебраическая форма комплексного числа
- •Тригонометрическая форма комплексного числа
- •Показательная форма комплексного числа
- •2. Аналитическая геметрия Векторы. Основные понятия
- •Линейные операции над векторами
- •Скалярное произведение векторов и его свойства
- •Векторное произведение векторов и его свойства
- •Смешанное произведение векторов и его свойства
- •Прямая на плоскости
- •Плоскость
- •Прямая в пространстве
- •Прямая и плоскость в пространстве
- •Кривые второго порядка
- •3.Теория пределов Предел последовательности
- •Основные теоремы о пределах
- •Предел функции
- •Основные теоремы о пределах
- •Замечательные пределы
- •Классификация точек разрыва:
- •4. Производная
- •Правила дифференцирования
- •Способы нахождения производной
- •Производные высших порядков
- •Применение производной при исследовании функций Максимум и минимум функции
- •Алгоритм нахождения наибольшего и наименьшего значения функции на отрезке
- •Направление выпуклости. Точки перегиба
- •Асимптоты
- •Построение графиков функции
- •Применение производной при вычислении пределов
- •5. Неопределённый интеграл
- •Свойства неопределенного интеграла
- •Правила вычисления интегралов
- •Методы интегрирования Метод непосредственного интегрирования
- •Метод замены переменной и внесение под знак дифференциала
- •Метод интегрирования по частям
- •Интегрирование рациональных дробей
- •Интегралы от тригонометрических функций
- •Интегрирование некоторых иррациональных функций с помощью тригонометрических подстановок
- •6. Определённый интеграл
- •Основные свойства определенного интеграла
- •Замена переменной в определенном интеграле
- •Приложения определенного интеграла Вычисление площади
- •Вычисление длины дуги кривой
- •7. Дифференциальные уравнения
- •Однородные уравнения
- •Линейные уравнения
- •Уравнение Бернулли
- •Уравнение в полных дифференциалах
- •Линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами
- •Линейные однородные дифференциальные уравнения
- •Линейные неоднородные дифференциальные уравнения
- •8. Ряды
- •Свойства сходящихся рядов
- •Достаточные признаки сходимости знакоположительных рядов
- •Знакопеременные ряды
- •Свойства абсолютно и условно сходящихся рядов
- •Функциональные ряды
- •Степенные ряды
- •Ряды Тейлора и Маклорена
- •Разложение некоторых элементарных функций в ряд Маклорена
- •Вариант 1
- •Вариант 2
Действия над матрицами
Умножение матрицы на число.
Определение. Произведением матрицы на число называется матрица
Правило. Чтобы умножить матрицу на число, надо каждый элемент матрицы умножить на это число.
Сложение матриц.
Операция сложения матриц вводится только для матриц одинаковых размеров.
Определение. Суммой матриц и одинаковой размерности называется матрица, элементы которой равны суммам элементов матриц и , расположенных на соответствующих местах:
Определение. Матрица называется противоположной матрице .
Разность матриц можно определить как . Операции сложения и умножения матрицы на число обладают следующими свойствами:
где - матрицы, - числа.
Умножение матриц.
Операция умножения двух матриц вводится только для случая, когда число столбцов первой матрицы равно числу строк второй матрицы.
Определение. Произведением матрицы на матрицу называется матрица такая, что
т.е. для получения элемента , расположенного в -строке и -м столбце матрицы , надо элементы -й строки матрицы умножить на соответствующие элементы -го столбца матрицы и полученные произведения сложить.
Если матрицы и квадратные одной размерности, то произведения и всегда существуют.
Пример 1.1. Выполнить следующие действия:
Решение.
Пример 1.2. Вычислить произведение матриц
Решение. Так как сомножители имеют размеры и , то их произведение определено и имеет размеры . Следовательно,
.
Определители матриц второго и третьего порядка
Определение. Квадратная таблица
,
составленная из четырех действительных (или комплексных) чисел, называется квадратной матрицей 2-го порядка.
Определение. Определителем матрицы 2-го порядка называется число
Аналогично, если
- квадратная матрица 3-го порядка, то соответствующим ей определителем 3-го порядка называется число
Правая часть последнего представляет собой алгебраическую сумму шести слагаемых, каждое из которых является произведением трех элементов, расположенных в разных строках и разных столбцах матрицы. Соединив линией, элементы каждого произведения, получим две легко запоминающиеся схемы, которые позволяют определить знаки слагаемых и элементы, входящие в них сомножителями (правило Саррюса):
(основания (основания
треугольников треугольников
параллельны параллельны
главной обратной
диагонали) диагонали)
Пример 1. Вычислить определитель 2-го порядка
.
Решение. Используя формулу (1.4.1), получим
.
Пример 2. Вычислить определитель 3-го порядка
.
Решение. Используя правило Саррюса, получим
Разложение определителя матрицы по элементам строки и столбца
Определение. Минором элемента определителя -го порядка называется определитель -го порядка, который получается в результате вычеркивания в определителе -го порядка строки и столбца, содержащих элемент .
Определение. Алгебраическим дополнением элемента называется его минор, умноженный на
Теорема. Каждый определитель равен сумме произведений элементов любой его строки (столбца) на их алгебраические дополнения, т.е.
где
где
Последние равенства называются соответственно разложениями определителя матрицы по элементам i-й строки и j-го столбца и могут быть использованы для вычисления определителей матриц.
Пример 1. Вычислить определитель, разлагая его по элементам третьего столбца:
Решение.