- •Учебно-методический комплекс дисциплины математика
- •080801 «Прикладная информатика (в экономике)»
- •2. Распределение часов по формам учебных занятий (таблица с титульного листа рабочей программы)
- •3. Общие положения
- •3.1. Учебные и воспитательные задачи
- •3. 2. Формы и методы учебных занятий
- •3.3 Формы контроля знаний
- •Распределение часов по темам и видам учебных занятий (очная форма обучения)
- •Содержание лекционного курса
- •1 Семестр
- •2 Семестр
- •Тема 2. Дифференциальное исчисление, экстремумы функций
- •Тема 3. Интегральное исчисление
- •Тема 4. Дифференциальные уравнения
- •3 Семестр
- •4 Семестр
- •Тема 5. Целочисленное программирование
- •Тема 6. Элементы теории игр
- •Тема 7. Сетевые методы
- •Тема 8. Элементы динамического программирования
- •Тема 9. Элементы системы национальных счетов
- •Содержание семинарских, практических и лабораторных занятий
- •6. Рекомендации по выполнению курсовой работы/курсового проекта:
- •7. Рекомендации по выполнению аудиторных и домашних контрольных работ для студентов всех форм обучения
- •8. Организация самостоятельной работы студентов (график срс)
- •9. Зачетные и экзаменационные вопросы
- •Третий семестр.
- •10. Рейтинговая система оценки знаний по математике
- •8.2 Шкала для оценки знаний студентов по дисциплине
- •11. Список литературы
- •Действия над матрицами
- •Умножение матрицы на число.
- •Сложение матриц.
- •Умножение матриц.
- •Определители матриц второго и третьего порядка
- •Свойства определителей го порядка
- •Обратная матрица
- •Ранг матрицы
- •Формула Крамера
- •Метод Гаусса
- •Комплексные числа Алгебраическая форма комплексного числа
- •Тригонометрическая форма комплексного числа
- •Показательная форма комплексного числа
- •2. Аналитическая геметрия Векторы. Основные понятия
- •Линейные операции над векторами
- •Скалярное произведение векторов и его свойства
- •Векторное произведение векторов и его свойства
- •Смешанное произведение векторов и его свойства
- •Прямая на плоскости
- •Плоскость
- •Прямая в пространстве
- •Прямая и плоскость в пространстве
- •Кривые второго порядка
- •3.Теория пределов Предел последовательности
- •Основные теоремы о пределах
- •Предел функции
- •Основные теоремы о пределах
- •Замечательные пределы
- •Классификация точек разрыва:
- •4. Производная
- •Правила дифференцирования
- •Способы нахождения производной
- •Производные высших порядков
- •Применение производной при исследовании функций Максимум и минимум функции
- •Алгоритм нахождения наибольшего и наименьшего значения функции на отрезке
- •Направление выпуклости. Точки перегиба
- •Асимптоты
- •Построение графиков функции
- •Применение производной при вычислении пределов
- •5. Неопределённый интеграл
- •Свойства неопределенного интеграла
- •Правила вычисления интегралов
- •Методы интегрирования Метод непосредственного интегрирования
- •Метод замены переменной и внесение под знак дифференциала
- •Метод интегрирования по частям
- •Интегрирование рациональных дробей
- •Интегралы от тригонометрических функций
- •Интегрирование некоторых иррациональных функций с помощью тригонометрических подстановок
- •6. Определённый интеграл
- •Основные свойства определенного интеграла
- •Замена переменной в определенном интеграле
- •Приложения определенного интеграла Вычисление площади
- •Вычисление длины дуги кривой
- •7. Дифференциальные уравнения
- •Однородные уравнения
- •Линейные уравнения
- •Уравнение Бернулли
- •Уравнение в полных дифференциалах
- •Линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами
- •Линейные однородные дифференциальные уравнения
- •Линейные неоднородные дифференциальные уравнения
- •8. Ряды
- •Свойства сходящихся рядов
- •Достаточные признаки сходимости знакоположительных рядов
- •Знакопеременные ряды
- •Свойства абсолютно и условно сходящихся рядов
- •Функциональные ряды
- •Степенные ряды
- •Ряды Тейлора и Маклорена
- •Разложение некоторых элементарных функций в ряд Маклорена
- •Вариант 1
- •Вариант 2
4. Производная
Рассмотрим функцию , заданную на некотором промежутке. Дадим аргументу x приращение , тогда функция получит приращение
.
Определение. Производной функции называется предел отношения приращения функции к приращению аргумента , когда последнее произвольным образом стремится к нулю. Операция нахождения производной называется дифференцированием. Производная функции – это тоже функция.
Производная обозначается следующим образом:
По определению, при любом допустимом х: .
Таблица производных
1) |
6) |
11) |
2) |
7) |
12) |
3) |
8) |
13) |
4) |
9) |
14) |
5) |
10) |
|
Правила дифференцирования
где
Способы нахождения производной
1. Если функция является сложной: то
2. Если функция задана параметрически: то
3. Если функция задана неявно: , то .
Чаще для нахождения производной от функции, заданной неявно, применяют не саму вышеприведенную формулу, а процедуру ее нахождения (см. ниже пример 5). Заметим, что при нахождении переменную y нужно считать постоянной величиной.
4. Для нахождения производной от сложной функции, имеющей вид: , предварительно применяют операцию логарифмирования, в результате которой получаем:
Дифференцируем последнее равенство по х:
Из этого равенства находим
Производные высших порядков
Определение. Производной второго порядка от функции называется производная от производной функции : Вторая производная может обозначается следующим образом:
Определение. Производной n-го порядка от функции называется производная от производной -го порядка:
или
При нахождении производных от заданных функций в первую очередь необходимо установить способ задания функции. Затем, в зависимости от сложности функции, применяем соответствующую формулу и правила дифференцирования.
Пример 1.
Решение. Эта функция задана явно, по структуре является сложной. Представим эту функцию в виде степенной
и применим формулу производной от сложной функции и правила дифференцирования:
Пример 2. .
Решение. Применяем формулу производной от сложной функции:
Пример 3.
Решение. Применяя формулу производной частного, получаем:
Пример 4.
Решение. Данная функция является сложной: одновременно показательной и степенной. Поэтому для нахождения производной от этой функции в начале ее логарифмируем:
Дифференцируем последнее равенство с учетом того, что , получаем:
Пример 5.
Решение. В данном случае функция задана неявно. Дифференцируем заданную функцию с учетом того, что :
Рассматривая это равенство как уравнение относительно , получаем:
Пример 6.
Решение. Применяем формулу производной от сложной функции:
Замечание. Для упрощения вычислений можно предварительно преобразовать данную функцию:
Пример 7.
Решение. Функция задана параметрически. Применяем формулу производной о функции заданной параметрически:
Вычисляем производную второго порядка от функции, заданной параметрически: