Прямая и плоскость в пространстве

Угол между прямой и плоскостью определяется выражением

Условие параллельности прямой и плоскости имеет вид

Условием перпендикулярности прямой и плоскости являются равенства

Условием принадлежности прямой плоскости является одновременное выполнение равенств

Пример 1. Найти угол между прямой и плоскостью .

Решение. Пусть . Используя параметрическое уравнение прямой, получим

.

Таким образом,

Пример 2. Написать уравнение плоскости, проходящей через прямую и точку М(3; 4; 5).

Решение. Точка М лежит на искомой плоскости. Следовательно, уравнение искомой плоскости имеет вид

Найдем нормальный вектор = . Точка К (2; 3; 4) лежит на прямой, а значит и на плоскости.. Подставим координаты точки К в уравнение плоскости:

С другой стороны, направляющий вектор прямой =(1; 2; 3) перпендикулярен вектору , так как прямая лежит в плоскости. Следовательно скалярное произведение ( , )=0, а значит Остается решить систему уравнений

Пусть Подставляя найденные значения в уравнение плоскости, получим

Кривые второго порядка

Определение. Уравнение второй степени относительно двух переменных

называется общим уравнением кривых второго порядка.

При разных значениях постоянных коэффициентов А, В, С, оно описывает четыре вида линий на плоскости: окружность, эллипс, гиперболу и параболу.

Теорема. Общее уравнение кривой второго порядка всегда определяет: либо окружность (при ), либо эллипс (при ), либо гиперболу (при ), либо параболу (при ). При этом возможны случаи вырождения: для эллипса (окружности) — в точку или мнимый эллипс (окружность), для гиперболы — в пару пересекающихся прямых, для параболы — в пару параллельных прямых.

Определение. Окружностью называется геометрическое место точек, равноудаленных от данной точки (центра).

Нормальное уравнение окружности имеет вид

где - координаты центра окружности; R- радиус окружности.

После раскрытия скобок в этом уравнении получается общее уравнение окружности

, где

Определение. Эллипсом называется геометрическое место точек, сумма расстояний которых до двух данных точек, называемых фокусами, есть постоянная величина - , большая, чем расстояние между фокусами .

Каноническое уравнение эллипса имеет вид

где , если и фокусы находятся на оси . Параметры , называются полуосями эллипса, а точка центром эллипса.

Определение. Отношение называется эксцентриситетом эллипса.

Расстояние от точки эллипса до его фокусов (фокальные радиусы) находятся по формулам

Определение. Гиперболой называется геометрическое место точек, разность расстояний от которых до двух данных точек (фокусов) есть постоянная величина - , причем < , где – расстояние между фокусами.

Каноническое уравнение гиперболы, симметричной относительно координат имеет вид

где .

Параметр называется вещественной полуосью гиперболы и представляет собой расстояние от начала координат до вершины гиперболы, параметр называется мнимой полуосью.

Эксцентриситетом гиперболы называется величина .

Расстояние текущей точки М(х, у) гиперболы до фокусов (фокальные радиусы) определяются по формулам

.

Прямые, заданные уравнениями , являются асимптотами гиперболы.

Определение. Параболой называется геометрическое место точек, одинаково удаленных от данной точки- фокуса и данной прямой- директрисы. Расстояние от фокуса до директрисы параболы обозначается через p(p>0).

Каноническое уравнение параболы записывается в виде

Точка называется вершиной параболы.

Фокальный радиус точки М(х, у), т.е. ее расстояние до фокуса на оси Ох, находится по формуле

Пример 1. Установить вид кривой второго порядка, заданной уравнением .

Решение. Предложенное уравнение определяет эллипс ( ). Действительно, проделаем следующие преобразования:

Получилось каноническое уравнение эллипса с центром в и полуосями и

Пример 2. Установить вид кривой второго порядка, заданной уравнением

Решение.

Указанное уравнение определяет параболу (С=0). Действительно,

Получилось каноническое уравнение параболы с вершиной в точке и р=1.

Пример 3. Установить вид кривой второго порядка, заданной уравнением .

Решение. Преобразуем уравнение:

.

Это уравнение определяет две пересекающиеся прямые и