Свойства определителей го порядка

Вычисление определителя матрицы с помощью формул разложения по строке или столбцу – достаточно трудоемкое дело. Используя свойства определителя матрицы, можно значительно упростить его вычисление. Свойства определителя матрицы:

1. При замене каждой строки определителя столбцом с тем же самым номером значения определителя не изменяется, т.е.

2. Общий множитель всех элементов строки (столбца) определителя можно вынести за знак определителя, т.е.

3.

Т.е. если каждый элемент -го столбца определителя представлен в виде суммы двух слагаемых , то это определитель равен сумме двух определителей, у которых все столбцы, кроме - го, те же самые, что и исходном определителе, - й столбец в первом слагаемом состоит из элементов а втором слагаемом – из элементов . Аналогичное утверждение справедливо и для строк.

4. Определитель, содержащий две одинаковые строки (столбца), равен нулю.

5. Определитель не изменяется, если к элементам одной из его строк (столбцов) прибавить соответствующие элементы другой строки (столбца), умноженные на одно и то же число, т.е.

Замечание 1. Если в определителе порядка n имеется столбец (строка), все элементы которого равны нулю, кроме одного, то, разложив определитель по этому столбцу (строке), сведем вычисление определителя n-го порядка к вычислению единственного определителя прядка (n-1).

Замечание 2. Если же в определителе n-го порядка нет столбца (строки), все элементы которого равны нулю, кроме одного, то используя свойство 5 определителей, можно, не изменяя величины определителя, преобразовать его так, чтобы в выбранном столбце (строке) все элементы, кроме одного, обратились в нуль.

Пример 1. Вычислить определитель:

Решение.

= =

Обратная матрица

Определение. Матрица называется обратной для квадратной матрицы , если

Теорема. Квадратная матрица имеет обратную тогда и только тогда, когда ее определитель не равен нулю, при этом она единственная.

где -определитель матрицы A; - алгебраическое дополнение элемента матрицы .

Определение. Элементарными преобразованиями строк (столбцов) матрицы называются следующие преобразования:

а) умножение -й строки (столбца) матрицы на число

б) прибавление к -й строке (столбцу) -й строки (столбца), умноженной на число

в) перестановка -й и -й строк (столбцов) матрицы.

Алгоритм построения обратной матрицы с помощью элементарных преобразований строк матрицы (методом Гаусса):

1. К данной матрице приписать справа единичную матрицу

.

2. С помощью элементарных преобразований объединенной матрицы привести матрицу к единичной матрице

3. Матрица имеет вид

Обратная матрица позволяет найти решения следующих матричных уравнений:

1)

2)

3)

где и имеют обратные матрицы.

Ранг матрицы

Выберем в матрице размера произвольные строк и столбцов, Элементы, стоящие на пересечении выделенных строк и столбцов, образуют квадратную матрицу -го порядка, определитель которой называется минором -го порядка матрицы . Элементы матрицы являются минорами первого порядка.

Определение. Минор -го порядка матрицы называется базисным, если он отличен от нуля, а все миноры высшего порядка равны нулю, либо не существуют.

Определение. Порядок базисного минора называют рангом матрицы.

Вычисление ранга матрицы.

1. Найти ненулевой элемент матрицы (если такого нет, то ранг матрицы равен нулю).

2. Вычислить миноры второго порядка, которые окаймляют выбранный элемент.

3. Если среди вычисленных миноров второго порядка имеется отличный от нуля, рассмотреть все миноры третьего порядка, окаймляющие какой-нибудь минор второго порядка, не равный нулю. Продолжать так до тех пор, пока все миноры, окаймляющие ненулевой минор -го порядка, не будут равны нулю, либо будут исчерпаны все окаймляющие миноры. В этом случае ранг матрицы равен ,если такого нет, то ранг матрицы равен нулю.

Определение. Матрицы размера называется трапецеидальной, если она имеет вид

где отличны от нуля.

Каждую матрицу с помощью элементарных преобразований строк и столбцов можно превратить в трапецеидальную.

Так как элементарные преобразования не изменяют ранга матрицы и ранг трапецеидальной матрицы равен числу ненулевых строк, то для отыскивания ранга матрицы надо:

1. элементарными преобразованиями превратить матрицу в трапецеидальную;

2. подсчитать число ненулевых строк в трапецеидальной матрице.

Пример 1. Найти с помощью элементарных преобразований ранг матрицы

Решение. Превратим данную матрицу в трапецеидальную с помощью элементарных преобразований:

-

-

4

-

-

2

-

-

-

.

Таким образом, ранг матрицы равен rang A=3.

Решение системы линейных алгебраических уравнений.

Система линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) имеет вид

где - коэффициент при неизвестных; - свободные члены

Определение. Прямоугольная таблица чисел, составленная из коэффициентов при неизвестных, называется матрицей системы.

Определение. Расширенной называется матрица, которая получается приписыванием к матрице системы столбца свободных членов.

Определение. Система уравнений называется совместной, если она имеет хотя бы одно решение.

Теорема Кронекера-Капелли. Система совместна тогда и только тогда, когда ранг матрицы равен рангу ее расширенной матрицы.

Теорема 1. Если ранг совместной системы равен числу неизвестных, то система имеет единственное решение.

Теорема 2. Если ранг совместной системы меньше числа неизвестных, то система имеет бесчисленное множество решений.

Определение. Совместная система уравнений имеет либо одно, либо бесконечно много решений. В первом случае она называется определенной, а во втором – неопределенной.

Определение. Система уравнений, не имеющая решений, называется несовместной.

Теорема 3. Если система уравнений содержит уравнение

называемое противоречивым, то она несовместна.

Определение. Две системы уравнений называются равносильными, если они имеют одни и те же решения.

Замечание. Если в системе вычеркнуть одно или несколько уравнений

называемых тривиальными, то получим систему уравнений, равносильную исходной.

Определение. Следующие преобразования системы линейных уравнений, называемые элементарными:

1. умножение какого-либо уравнения системы на отличное от нуля число;

2. прибавление к обеим частям -го уравнения соответствующих частей -го уравнения, умноженных на число .

Для системы линейных алгебраических уравнений элементарные преобразования являются тождественными.