Асимптоты

Определение. Пусть для функции существует такая прямая, что расстояние от точки графика функции до этой прямой стремится к нулю при бесконечном удалении точки М от начала координат. Тогда такая прямая называется асимптотой графика функции.

Определение. Если при этом координата х точки М стремятся к конечному числу а, то прямая является вертикальной асимптотой.

Для существования вертикальной асимптоты в точке необходимо и достаточно, чтобы хотя бы один из пределов был равен бесконечности. Непрерывные функции не имеют вертикальных асимптот.

Если же координата х точки М стремится к или , то мы имеем наклонную асимптоту , для существования которой необходимо и достаточно существование двух пределов

При этом указанные пределы могут быть различными при (для правой наклонной асимптоты) и при (для левой на­клонной асимптоты).

Если (т.е. фактически ), то мы имеем дело с частным случаем наклонной асимптоты – горизонтальной асимптотой

Пример. Найти асимптоты графика функции

Решение. Функция имеет единственную точку разрыва

– вертикальная асимптота.

Далее,

– наклонная асимптота.

Построение графиков функции

Построение графика функции производится по следующей схеме.

1. Находится область определения функции

2. Определяются характерные особенности функции (четность, нечетность, периодичность, точки пересечения с осями координат, промежутки знакопостоянства).

3. Изучается поведение функции в точках разрыва и на границах области определения (в том числе и на бесконечности). Находятся вертикальные, горизонтальные и наклонные асимптоты.

4. С помощью первой производной находятся точки экстремума и промежутки монотонности.

5. С помощью второй производной находятся точки перегиба и промежутки выпуклости.

6. Строится график функции, который удовлетворяет всем ранее полученным данным. Для более точного построения графика рекомендуется найти несколько контрольных точек.

Пример. Провести полное исследование функции и построить ее график.

1.

2. Функция не является ни четной, ни нечетной, ни периодической.

При а при

3. ,

График функции имеет вертикальную асимптоту и горизонтальную асимптоту

4.

При , и функция возрастает. При , и функция убывает. – точка максимума, .

5.

При , и график функции выпуклый вверх. При , и функция убывает. – точка перегиба.

6. График функции изображен на рис. 2.

Рис. 2.

Применение производной при вычислении пределов

При раскрытии неопределенностей вида или можно использовать правило Лопиталя:

1. Если то при условии, что предел, стоящий в правой части, существует.

2. Если то при условии, что предел, стоящий в правой части, существует.

При необходимости производные от функций, стоящих в числителе и знаменателе исследуемого выражения, можно брать неоднократно.

Пример.

.

Пример.

.

В случае неопределенностей вида или их следует путем алгебраических преобразований привести их к виду или .

В случае неопределенностей вида , или следует прологарифмировать заданную функцию, а затем также путем алгебраических преобразований привести полученную неопределенность к виду или .

Пример.

.

Пример. .

Имеем неопределенность вида . Прологарифмируем заданную функцию : . Рассмотрим предел:

А так как то следовательно, .