![](/user_photo/2706_HbeT2.jpg)
- •5.4. Контур с током в магнитном поле
- •5.5. Исследование практических задач. Определение отношения заряда электрона к его массе
- •5.6. Эффект Холла
- •1.1 Закон Био-Савара-Лапласа для элемента тока
- •1.2 Индукция магнитного поля в центре кругового тока
- •1.3 Индукция магнитного поля на оси кругового тока
- •1.4 Индукция магнитного поля прямолинейного тока
- •1.5 Циркуляция вектора в по замкнутому контуру. Вихревой характер магнитного поля
- •1.6 Магнитное поле соленоида
- •6.1. Закон Био - Савара - Лапласа
- •6.2. Магнитное поле кругового тока
- •6.3. Основные уравнения теории постоянного магнитного поля
- •6.4. Магнитное поле бесконечно длинного соленоида
- •6.5. Магнитное поле прямого тока
- •6.6. Взаимодействие токов
- •6.7. Pасчет индукции магнитного поля кругового тока
- •6.8. Расчет индукции магнитного поля на оси соленоида
- •6.9. Магнитное поле прямого отрезка с током
- •Ротор. Теорема Стокса.
- •6.10. Теорема Стокса
- •6.11. Вывод дифференциальных уравнений теории постоянного магнитного поля
- •7.1. Электрические токи в атомах и молекулах
- •7.2. Намагниченность вещества. Напряженность магнитного поля
- •7.3. Циркуляция вектора намагниченности *
- •7.4. Напряженность магнитного поля
- •7.5. Магнитная восприимчивость и магнитная проницаемость
- •7.6. Основные уравнения теории постоянного магнитного поля в веществе
- •7.7. Магнитное поле заполненного веществом соленоида
- •7.8. Условия на границе раздела двух магнетиков
- •8. Электромагнитная индукция
- •8.1. Закон Фарадея и правило Ленца
- •8.4. Индуктивность соленоида
- •8.5. Энергия магнитного поля
- •8.6. Вихревое электрическое поле в соленоиде
- •8.7. Токи Фуко
- •8.8. Индуктивность коаксиального кабеля
- •8.9. Взаимная индукция
- •8.10. Один из способов измерения магнитной индукции
- •9.1. Колебательный контур. Гармонические колебания
- •9.2. Затухающие электромагнитные колебания
- •9.3. Вынужденные электромагнитные колебания
- •9. Электромагнитные колебания
- •9.4. Дифференциальное уравнение затухающих электромагнитных колебаний
- •9.5. Дифференциальное уравнение вынужденных электромагнитных колебаний. Резонанс напряжения и резонанс тока
- •9.6. Переменный ток. Метод комплексных амплитуд
- •9.7. Мощность переменного тока
- •10. Электромагнитное поле
- •10.1. Уравнения Максвелла
- •10.2. Плотность и поток энергии электромагнитного поля
- •10.3. Вывод уравнения непрерывности из уравнений Максвелла
- •10.4. Вывод соотношения, связывающего плотность энергии электромагнитного поля и вектор Умова — Пойнтинга
- •10.5. Ковариантность уравнений Максвелла
- •1.22. Система уравнений Максвелла в сплошной среде. Граничные условия
- •1.22.1. Уравнения Максвелла в дифференциальной и интегральной формах
- •1.22.2. Граничные условия
- •1.22.3. Уравнения Максвелла в системе уравнений магнитостатики и электростатики
- •1.22.4. Пример
- •1.22.5. Приложение.
- •1.22.5.1. Формула Остроградского – Гаусса.
- •1.22.5.2. Формула Стокса.
- •Плоские электромагнитные волны Понятие электромагнитной волны.
- •Поперечный характер электромагнитных волн.
- •Фазовая и групповая скорости электромагнитной волны.
- •Заключение.
- •Движение заряженных частиц в магнитном и электрическом полях
- •Электрический ток в газах
- •Сверхпроводимость.
- •Контур с током в магнитном поле.
1.22.3. Уравнения Максвелла в системе уравнений магнитостатики и электростатики
Так как на практике почти всегда приходится решать уравнения Максвелла (1) – (4) в кусочно-непрерывных средах, то граничные условия (24) следует рассматривать как неотъёмлемую часть уравнений Максвелла (1) – (4).
В
случае стационарных электрических и
магнитных полей (
и
)
система уравнений Максвелла (1) – (4)
распадается на систему
уравнений электростатики:
,
,
(25)
и уравнений магнитостатики:
,
,
,
(26)
а граничные условия остаются те же.
1.22.4. Пример
В
качестве примера решения электростатических
задач можно вычислить электрическое
поле, создаваемое диэлектрическим шаром
радиуса R,
находящемся в однородном электрическом
поле
.
Уравнения электростатики в диэлектрике
(25) при
=0
имеют вид:
,
,
(27)
Из этих уравнений следует, сто потенциал электростатического поля удовлетворяет уравнению
(28)
причём
=
-
,
-
.
В однородном диэлектрике
=const
, поэтому уравнение (27) переходит в
обычное уравнение Лапласа
=0.
Граничное условие (24), выражающее непрерывность вектора индукции, записывается следующим образом:
при
r=R
(29)
Здесь
–
решение уравнения вне сферы, а
–
внутри сферы. Вместо граничного условия
непрерывности тангенциальных составляющих
электрического поля можно использовать
эквивалентное ему условие непрерывности
потенциала
= (30)
Это
условие можно получить, рассматривая
интеграл
по
контуру, изображенному на рис. 2.
Воспользовавшись теоремой Стокса и
уравнением
,
находим
Так
как интеграл по любому замкнутому
контуру равен нулю, то это значит, что
функция
непрерывна, откуда и следует условие
(30). Из (30) очевидно так же, что
где
элемент
направлен касательно к границе раздела.
Из этого равенства следует, что
тангенциальные компоненты вектора
также непрерывны.
Для решения поставленной задачи используем сферическую систему координат, полярная ось которой (ось z) совпадает с направлением напряжённости однородного внешнего электрического поля .
Поскольку
на достаточно большом удалении от
диэлектрического шара электрическое
поле не искажается наличием этого шара,
то потенциал
должен удовлетворять условию
при
.
Из
соображений симметрии ясно, что потенциал
не должен зависеть от азимутального
угла, поэтому решение уравнения Лапласа
запишем в виде разложения по полиномам
Лежандра
:
,
.
Здесь
потенциал нормирован так, чтобы
при
.
Так как
,
то из условия на бесконечности находим
.
Воспользуемся теперь граничными условиями (29) и (30):
Приравнивая коэффициенты при одинаковых полиномах Лежандра, получаем
=0
при (l=0),
при
(l=1),
при
(l>1).
Из этих уравнений находим
,
.
Все
остальные коэффициенты равны нуля, если
.
Таким образом, решение задачи имеет вид:
(30)
Используя
формулу
,
вычислим вектор поляризации диэлектрической
сферы
С помощью вектора поляризации формулы (30) можно записать в виде:
(31)
(32)
где
- объём сферы.
Первые
два слагаемых в (31) и (32) представляют
собой потенциал однородного внешнего
поля, создаваемого внешними источниками.
Вторые – это потенциал электрического
поля, создаваемого электрическим шаром,
поляризованным внешним полем. Вне сферы
– это потенциал диполя с дипольным
моментом
.
Внутри сферы поляризованный шар создаёт
однородное электрическое поле с
напряжённостью
(33)
Полная напряжённость внутри шара
(34)
Таким
образом, электрическое поле внутри шара
не зависят от радиуса шара и ослаблено
на значение поля
,
которое называется деполяризующим
полем. Возникновение деполяризующего
поля есть частный случай явления
экранировки внешнего поля связанными
или свободными зарядами.