- •5.4. Контур с током в магнитном поле
- •5.5. Исследование практических задач. Определение отношения заряда электрона к его массе
- •5.6. Эффект Холла
- •1.1 Закон Био-Савара-Лапласа для элемента тока
- •1.2 Индукция магнитного поля в центре кругового тока
- •1.3 Индукция магнитного поля на оси кругового тока
- •1.4 Индукция магнитного поля прямолинейного тока
- •1.5 Циркуляция вектора в по замкнутому контуру. Вихревой характер магнитного поля
- •1.6 Магнитное поле соленоида
- •6.1. Закон Био - Савара - Лапласа
- •6.2. Магнитное поле кругового тока
- •6.3. Основные уравнения теории постоянного магнитного поля
- •6.4. Магнитное поле бесконечно длинного соленоида
- •6.5. Магнитное поле прямого тока
- •6.6. Взаимодействие токов
- •6.7. Pасчет индукции магнитного поля кругового тока
- •6.8. Расчет индукции магнитного поля на оси соленоида
- •6.9. Магнитное поле прямого отрезка с током
- •Ротор. Теорема Стокса.
- •6.10. Теорема Стокса
- •6.11. Вывод дифференциальных уравнений теории постоянного магнитного поля
- •7.1. Электрические токи в атомах и молекулах
- •7.2. Намагниченность вещества. Напряженность магнитного поля
- •7.3. Циркуляция вектора намагниченности *
- •7.4. Напряженность магнитного поля
- •7.5. Магнитная восприимчивость и магнитная проницаемость
- •7.6. Основные уравнения теории постоянного магнитного поля в веществе
- •7.7. Магнитное поле заполненного веществом соленоида
- •7.8. Условия на границе раздела двух магнетиков
- •8. Электромагнитная индукция
- •8.1. Закон Фарадея и правило Ленца
- •8.4. Индуктивность соленоида
- •8.5. Энергия магнитного поля
- •8.6. Вихревое электрическое поле в соленоиде
- •8.7. Токи Фуко
- •8.8. Индуктивность коаксиального кабеля
- •8.9. Взаимная индукция
- •8.10. Один из способов измерения магнитной индукции
- •9.1. Колебательный контур. Гармонические колебания
- •9.2. Затухающие электромагнитные колебания
- •9.3. Вынужденные электромагнитные колебания
- •9. Электромагнитные колебания
- •9.4. Дифференциальное уравнение затухающих электромагнитных колебаний
- •9.5. Дифференциальное уравнение вынужденных электромагнитных колебаний. Резонанс напряжения и резонанс тока
- •9.6. Переменный ток. Метод комплексных амплитуд
- •9.7. Мощность переменного тока
- •10. Электромагнитное поле
- •10.1. Уравнения Максвелла
- •10.2. Плотность и поток энергии электромагнитного поля
- •10.3. Вывод уравнения непрерывности из уравнений Максвелла
- •10.4. Вывод соотношения, связывающего плотность энергии электромагнитного поля и вектор Умова — Пойнтинга
- •10.5. Ковариантность уравнений Максвелла
- •1.22. Система уравнений Максвелла в сплошной среде. Граничные условия
- •1.22.1. Уравнения Максвелла в дифференциальной и интегральной формах
- •1.22.2. Граничные условия
- •1.22.3. Уравнения Максвелла в системе уравнений магнитостатики и электростатики
- •1.22.4. Пример
- •1.22.5. Приложение.
- •1.22.5.1. Формула Остроградского – Гаусса.
- •1.22.5.2. Формула Стокса.
- •Плоские электромагнитные волны Понятие электромагнитной волны.
- •Поперечный характер электромагнитных волн.
- •Фазовая и групповая скорости электромагнитной волны.
- •Заключение.
- •Движение заряженных частиц в магнитном и электрическом полях
- •Электрический ток в газах
- •Сверхпроводимость.
- •Контур с током в магнитном поле.
8.4. Индуктивность соленоида
Вычислим индуктивность соленоида из N витков, длина которого равна l. При условии, что радиус соленоида много меньше его длины, искажениями поля на его концах можно пренебречь и считать магнитное поле внутри соленоида однородным, как если бы он был бесконечно длинным. От искажений можно избавиться полностью, если соленоид согнуть в "баранку". Такая конструкция называется тороидальной катушкой. Магнитная индукция поля в соленоиде определяется формулой (7.18), в которой число п витков проволоки на единицу длины соленоида равно N/l:
- индукция внутри соленоида. (8.18)
где - абсолютная магнитная проницаемость вещества, заполняющего пространство внутри соленоида.
Магнитный поток (8.1) удобно вычислять через плоскость S, натянутую на один из витков. В этом случае векторы В и п коллинеарны. Так как магнитное поле в соленоиде однородно, магнитный поток
Ф = = = = BS
где S - площадь поперечного сечения соленоида, т.е. площадь одного из его витков. В силу однородности поля потоки через все витки одинаковы. Поэтому
= NФ. (8.20)
Формулы (8.18) - (8.20) приводят к выражению
= N2SI/l
Согласно определению (8.16) индуктивность соленоида будет
L =N2S/l = n2Sl = n2 V, (8.21)
где V = Sl - объем соленоида, а п = N/I - число витков на единицу длины соленоида.
8.5. Энергия магнитного поля
Рассмотрим цепь, состоящую из проводика сопротивлением R и катушки с постоянной индуктивностью L (рис. 8.4). Пусть в момент времени t = 0 в этой цепи протекает электрический ток силой I0. Найдем, как ток будет меняться при t > 0. Для этого запишем второе правило Кирхгофа, согласно которому сумма падений напряжений в контуре равна сумме ЭДС. В рассматриваемом контуре напряжение падает на проводнике, а в катушке возникает электродвижущая сила самоиндукции. Таким образом,
RI = -LdI/dt,
Это есть уравнение с разделяющимися переменными, т.е. его можно записать так:
dI/I = - (R/ L) dt
После интегрирования получим
I(t) = I0 exp(-Rt/L)
(8.23)
Из этой формулы следует, что ток в цепи, содержащей катушку индуктивности, не может прекратиться мгновенно. Уменьшение силы тока приводит к возникновению электродвижущей силы самоиндукции в катушке, которая согласно правилу Ленца препятствует исчезновению тока.
Рис. 8-4- Электрический ток в этом контуре поддерживается благодаря ЭДС самоиндукции
Умножим уравнение (8.22) на I. После простого преобразования правой части будем иметь
RI2 = - (8.24)
Левая часть этого равенства есть мощность джоулева энерговыделения, т.е. количество тепла, которое выделяется на сопротивление за единицу времени при прохождении по нему электрического тока. Что является источником энергии, которая расходуется на нагревание проводника? В рассматриваемом контуре нет других элементов, кроме сопротивления и катушки. Поэтому приходим к выводу, что в катушке, а также в любом проводящем контуре с током запасается энергия, которая, как следует из равенства (8.24), определяется соотношением
- энергия магнитного поля. (8.25)
Равенство (8.24) выражает собой закон сохранения энергии. Производная - W есть количество энергии, которое теряется катушкой за единицу времени. Согласно равенству (8.24) эта энергия равна количеству тепла, выделяющемуся в сопротивлении за это время.
Пусть катушка является соленоидом, индуктивность которого определяется формулой (8.21):
L=n2V. (8.26)
Согласно (8.25) и (8.26) в соленоиде с током I запасена энергия
W=(1/2)n2I2V.
В силу (7.17) произведение nI равно напряженности H магнитного поля внутри соленоида, поэтому
W = (1/2) H2V
Энергия (8.27) зависит от напряженности Я магнитного поля внутри соленоида, от магнитной проницаемости среды, заполняющей пространство внутри соленоида, и пропорциональна его объему. Отсюда можно заключить, что носителями этой энергии являются магнитное поле и намагниченное вещество. Так как поле внутри длинного соленоида, заполненного однородным веществом, также однородно, энергия W равномерно распределена в пространстве соленоида и пропорциональна его объему V. В этом случае объемная плотность энергии w равна отношению энергии W к объему V:
w = (1/2) H2 (8.28)
Эта формула справедлива также в общем случае, т.е. и тогда, когда магнитное поле неоднородно. При этом энергия поля в малом объеме равна произведению плотности энергии (8.28) на величину dV этого объема:
dW = w(r)dV = (1/2) H2dV
Энергия поля в объеме V выражается интегралом
W = V w(r)dV = (1/2)VH2dV
ЭЛЕКТРОМАГНИТНАЯ ИНДУКЦИЯ (продолжение)