- •5.4. Контур с током в магнитном поле
- •5.5. Исследование практических задач. Определение отношения заряда электрона к его массе
- •5.6. Эффект Холла
- •1.1 Закон Био-Савара-Лапласа для элемента тока
- •1.2 Индукция магнитного поля в центре кругового тока
- •1.3 Индукция магнитного поля на оси кругового тока
- •1.4 Индукция магнитного поля прямолинейного тока
- •1.5 Циркуляция вектора в по замкнутому контуру. Вихревой характер магнитного поля
- •1.6 Магнитное поле соленоида
- •6.1. Закон Био - Савара - Лапласа
- •6.2. Магнитное поле кругового тока
- •6.3. Основные уравнения теории постоянного магнитного поля
- •6.4. Магнитное поле бесконечно длинного соленоида
- •6.5. Магнитное поле прямого тока
- •6.6. Взаимодействие токов
- •6.7. Pасчет индукции магнитного поля кругового тока
- •6.8. Расчет индукции магнитного поля на оси соленоида
- •6.9. Магнитное поле прямого отрезка с током
- •Ротор. Теорема Стокса.
- •6.10. Теорема Стокса
- •6.11. Вывод дифференциальных уравнений теории постоянного магнитного поля
- •7.1. Электрические токи в атомах и молекулах
- •7.2. Намагниченность вещества. Напряженность магнитного поля
- •7.3. Циркуляция вектора намагниченности *
- •7.4. Напряженность магнитного поля
- •7.5. Магнитная восприимчивость и магнитная проницаемость
- •7.6. Основные уравнения теории постоянного магнитного поля в веществе
- •7.7. Магнитное поле заполненного веществом соленоида
- •7.8. Условия на границе раздела двух магнетиков
- •8. Электромагнитная индукция
- •8.1. Закон Фарадея и правило Ленца
- •8.4. Индуктивность соленоида
- •8.5. Энергия магнитного поля
- •8.6. Вихревое электрическое поле в соленоиде
- •8.7. Токи Фуко
- •8.8. Индуктивность коаксиального кабеля
- •8.9. Взаимная индукция
- •8.10. Один из способов измерения магнитной индукции
- •9.1. Колебательный контур. Гармонические колебания
- •9.2. Затухающие электромагнитные колебания
- •9.3. Вынужденные электромагнитные колебания
- •9. Электромагнитные колебания
- •9.4. Дифференциальное уравнение затухающих электромагнитных колебаний
- •9.5. Дифференциальное уравнение вынужденных электромагнитных колебаний. Резонанс напряжения и резонанс тока
- •9.6. Переменный ток. Метод комплексных амплитуд
- •9.7. Мощность переменного тока
- •10. Электромагнитное поле
- •10.1. Уравнения Максвелла
- •10.2. Плотность и поток энергии электромагнитного поля
- •10.3. Вывод уравнения непрерывности из уравнений Максвелла
- •10.4. Вывод соотношения, связывающего плотность энергии электромагнитного поля и вектор Умова — Пойнтинга
- •10.5. Ковариантность уравнений Максвелла
- •1.22. Система уравнений Максвелла в сплошной среде. Граничные условия
- •1.22.1. Уравнения Максвелла в дифференциальной и интегральной формах
- •1.22.2. Граничные условия
- •1.22.3. Уравнения Максвелла в системе уравнений магнитостатики и электростатики
- •1.22.4. Пример
- •1.22.5. Приложение.
- •1.22.5.1. Формула Остроградского – Гаусса.
- •1.22.5.2. Формула Стокса.
- •Плоские электромагнитные волны Понятие электромагнитной волны.
- •Поперечный характер электромагнитных волн.
- •Фазовая и групповая скорости электромагнитной волны.
- •Заключение.
- •Движение заряженных частиц в магнитном и электрическом полях
- •Электрический ток в газах
- •Сверхпроводимость.
- •Контур с током в магнитном поле.
6.11. Вывод дифференциальных уравнений теории постоянного магнитного поля
Векторная функция B =B(r), описывающая постоянное магнитное поле, удовлетворяет интегральным уравнениям (6.9) и (6.11): В = В (r), описывающей постоянное магнитное поле. Эти уравнения имеют вид:
=μo I
=0
Получим из этих уравнений дифференциальные уравнения (6.12) и (6.13). При помощи теоремы Остроградского - Гаусса преобразуем в уравнении (6.9) поток вектора В через замкнутую поверхность S в интеграл по объему, заключенному внутри этой поверхности, от дивергенции магнитной индукции. Будем иметь
= -теорема Остроградского - Гаусса
Поскольку левая часть равна нулю, то и правая также
=0
Интеграл по произвольному объему V всегда равен нулю только в том случае, когда равно нулю подынтегральное выражение. Таким образом, приходим к уравнению (6.12)
div B = 0 .
Преобразуем циркуляцию вектора В в уравнении (6.11) при помощи теоремы Стокса в поверхностный интеграл от ротора магнитной индукции по той же натянутой на контур С поверхности S, по которой интегрируется плотность тока в правой части этого уравнения:
= - теорема Стокса
= μo
Два интеграла по произвольной поверхности S равны друг другу тогда и только тогда, когда равны подынтегральные выражения. Таким образом, получим уравнение (6.13)
rot В = μo j .
Задача 1. По объему бесконечно длинного цилиндра радиуса R вдоль его оси идет электрический ток постоянной плотности j. Найти индукцию магнитного поля, создаваемого этим током.
Задача 2. Бесконечный цилиндр радиуса R заряжен равномерно по объему с плотностью заряда д. Цилиндр вращается вокруг своей оси
с угловой скоростью w. Найти вектор магнитной индукции В = В(r).
ПОСТОЯННОЕ МАГНИТНОЕ ПОЛЕ В ВЕЩЕСТВЕ
7.1. Электрические токи в атомах и молекулах
С огласно современным представлениям о строении атомов и молекул они состоят из положительно заряженных ядер и вращающихся вокруг них отрицательно заряженных электронов. Самой простой моделью атома является так называемая планетарная модель, в которой электроны рассматриваются как материальные точки, вращающиеся по круговым орбитам вокруг ядра. Эта модель позволяет в первом приближении объяснить магнитные свойства различных веществ (магнетиков).
Рис. 7.1. К вычислению магнитного момента электрона в атоме
Итак, пусть электрон в атоме движется вокруг ядра по окружности (рис. 7.1). В таком случае электрон подобен круговому контуру с током и также характеризуется магнитным моментом рт. Направление тока, создаваемого вращающимся электроном, противоположно направлению его скорости, так как электрон несет отрицательный заряд -е. По определению вектор рт перпендикулярен плоскости орбиты электрона, а его направление связано с направлением тока в контуре правилом правого винта. По определению модуль вектора рт равен произведению силы тока на площадь контура:
pm =IS
Сила тока, создаваемого вращающимся по орбите электроном, равна отношению его заряда к периоду Т обращения электрона вокруг ядра:
I= e/T
Период Т связан со скоростью v и длиной орбиты 2 r соотношением
T=2 r /v
При помощи этих соотношений найдем, что
pm = evr/2.
Рассмотренный магнитный момент рт электрона обусловлен его движением вокруг ядра и называется орбитальным магнитным моментом. В некотором смысле электрон подобен вращающемуся заряженному шарику. Поэтому электрон^ имеет еще так называемый собственный магнитный момент.
В атомах и молекулах имеется несколько электронов. Магнитным моментом рт молекулы (или атома) называется векторная сумма магнитных моментов входящих в ее состав электронов:
рт. = ртi. (7.1)
где рт. - магнитный момент i-го электрона, который равен сумме его орбитального и собственного магнитных моментов.
Магнитное поле, создаваемое токами, которые не входят в состав рассматриваемой системы, называется внешним по отношению к этой системе.
Молекула называется диамагнитной, если ее магнитный момент в отсутствие внешнего поля равен нулю. Под действием внешнего магнитного поля диамагнитная молекула приобретает магнитный момент. Это явление называется намагничиванием. Молекула, магнитный момент которой не равен нулю, даже когда внешнего поля нет, называется парамагнитной. Такая молекула ведет себя в магнитном поле, как рамка с током. Силы Ампера, с которыми магнитное поле действует на парамагнитную молекулу, стремятся развернуть молекулу так, чтобы ее магнитный момент был направлен по полю, т.е. в ту же сторону, что и вектор магнитной индукции. Этому препятствует тепловое движение молекул.
В атомах и молекулах электроны, движущиеся по одной орбите, образуют пары. Собственные магнитные моменты электронов в этих парах всегда направлены в противоположные стороны так, что их сумма равна нулю. Если число электронов в атоме или молекуле четное, то ее полный магнитный момент может оказаться равным нулю. Любой атом и молекула с нечетным числом электронов всегда парамагнитны.