6.9. Магнитное поле прямого отрезка с током

Магнитное поле, создаваемое отрезком прямого провода, обладает осе­вой симметрией. При этом его силовыми линиями будут окружности, центры которых лежат на оси симметрии. Одна из силовых линий по­казана на рис. 6.13. Найдем магнитную индукцию поля, создаваемого отрезком прямого провода. Для этого применим закон Био - Савара -Лапласа (6.1).

Векторные элементы dl различных участков провода и соответствую­щие им векторы R , заканчивающиеся в произвольной точке Р простран­ства, лежат в плоскости, которая содержит в себе эту точку и провод.

Поэтому согласно определению векторного произведения все векторы dB магнитной индукции полей, создаваемых в точке Р различными элемен­тами dl провода, коллинеарны. Вследствие этого модуль В вектора В равен сумме модулей векторов dB :

B =

(6.34)

dB = μ_oIdl sin a /(4 R ²) (6.35)

где a - угол между векторами dl R; dl - модуль вектора dl .

Рис. 6.13. К расчету индукции магнитного поля отрезка тока

Из треугольника АА'Р на рис. 6.13 найдем, что расстояние R от точки А до точки Р и расстояние l от точки А до точки А' таковы, что

R = a/sin a, l = a ctg a .

При этом dl = a da/ sin² a

Подстановка этих выражений в формулу (6.35) преобразует ее к виду

dB = μ_oI sin ada /(4 a)

Найдем модуль В вектора В по формуле (6.34):

В(x) = μ_oI/(4a)

где a₁ и a₂ - значения угла а, соответствующие концам рассматриваемо­го отрезка провода. Интегрирование по формуле Ньютона - Лейбница приводит к выражению

магнитная индукция поля в точке.

a₁ =0 a₂=.

В этом случае формула

В = μ_oI/(4a)

Ротор. Теорема Стокса.

Если в движущеёся жидкости с распределением скоростей от до выделить контур Г, а остальную жидкость мгновенно заморозить, то в этом контуре будет продолжаться движение жидкости. Мерой такого действия является произведение скорости жидкости в контуре на длину контура. Эту величину называют циркуляцией вектора по контуру Г.

Циркуляция =

Циркуляция обладает свойством аддитивности, т.е. циркуляция по контуру Г будет равна сумме циркуляций по контурам Г₁ и Г_2.

Благодаря такому свойству можно ввести понятие удельной циркуляции в точке Р – это векторная величина, называемая ротором или вихрем.

Рис. 6.14- К выводу теоремы Стокса

Рассмотрим циркуляцию по элементарному квадрату в декартовой системе координат.

Знак минус ставится тогда, когда направления c_x не совпадает с направлением обхода.

Учитывая, что , получим:

Аналогично для сторон квадрата 2 и 4:

,

Тогда циркуляция по квадрату будет равна:

, где S – площадь квадрата.

Разделив циркуляцию на , найдём проекции на оси координат:

(1*)

(2*)

(3*)

Любое из выражений (1*) - (3*) можно получить из предыдущего путём циклической системы координат.

Для уравнения (1*) предыдущим является уравнение (3*). Таким образом, ротор вектора в декартовой системе координат будет иметь вид:

Если известно, что ротор каждой точки поверхности S охватывается контуром Г, то можно вычислить и циркуляцию по этому контуру:

Теорема Стокса: циркуляция вектора по замкнутому контуру равна потоку вектора rot через площадку S, ограниченную этим контуром.

Отметим, что

Мы рассмотрим три вида сочетаний, в которые входит оператор (набла)

Используя эти сочетания, можно пространственные вариации полей записать в виде независимых от той или иной совокупности осей координат.

Формула Стокса.

По определению ротор (вихрь) некоторого вектора :

(36)

Зная ротор вектора в каждой точке некоторой (не обязательно плоской) поверхности S, можно вычислить циркуляцию этого вектора по контуру , ограничивающему S, (контур также может быть не плоским). Для этого разобъём поверхность на очень малые элементы . Ввиду их малости эти элементы можно считать плоскими. Поэтому в соответствии с (36) циркуляция вектора по контуру, ограничивающему , может быть представлена в виде.

(37)

где - положительная нормаль к элементу поверхности .

Зная, что циркуляция по некоторому контуру равна сумме циркуляций по контурам, содержащиеся в данном, можно просуммировать выражение (37) по всем , и тогда получим циркуляцию вектора по контуру , ограничивающему S:

.

Осуществив предельный переход, при котором все стремиться к нулю (число их при этом неограниченно растёт, придём к формуле:

(38)

Соотношение (38) носит название теоремы Стокса. Смысл её состоит в том, что циркуляция вектора по произвольному контуру равна потоку вектора через произвольную поверхность S , ограниченную данным контуром.