К

Зарождение квантовой теории электромагнитного поля

вантовая механика разрешила проблему описания стационарных состояний атомов и дала ключ к пониманию многих других явлений микромира. Но при этом электромагнитное поле в квантовой механике по-прежнему описывалось уравнениями Максвелла, т.е. рассматривалось как классическое непрерывное поле. Квантовая механика позволяла описывать движение электронов, протонов и других частиц, но не их рождение или уничтожение, т.е. была применима лишь для описания систем с неизменным числом частиц. Таким образом, наиболее интересная в электродинамике задача об испускании и поглощении электромагнитного излучения заряженными частицами оставалась вне компетенции квантовой механики. При рассмотрении водородного атома квантовая механика позволяла получить дискретный набор значений энергии электрона, момента импульса и других физических величин, характеризующих различные состояния атома, позволяла вычислить вероятность нахождения электрона в том или ином состоянии. Однако переходы атома из одного состояния в другое, сопровождаемые испусканием или поглощением фотонов, не поддавались последовательному описанию в рамках квантовой механики.

Первая попытка построить квантовую теорию излучения была предпринята П. Дираком в 1927 году. Основополагающей явилась работа Дирака от 2 февраля 1927 года «Квантовая теория испускания и поглощения излучения», в которой было учтено взаимодействие атомных систем с излучением и произведено квантование поля излучения. С этой работы Дирака началось развитие квантовой электродинамики. В 1928 – 1932 гг. П. Дираком, В. Гейзенбергом, В. Паули, Э. Ферми, В. А. Фоком и другими были заложены основы квантовой электродинамики и квантовой теории поля.

Важным шагом на этом пути была разработка метода вторичного квантования – математического метода описания квантовых систем с бесконечным числом степеней свободы (электромагнитного и др. полей). Этот метод был предложен в 1927 – 28 гг. в работах П. Дирака, П. Иордана, О. Клейна и Ю. Вигнера и получил дальнейшее развитие в 1932 году в трудах В. А. Фока. Как известно, волновая функция системы тождественных частиц должна удовлетворять требованию симметричности (бозоны) либо антисимметричности (фермионы) относительно перестановки любой пары частиц. Однако после применения операции симметризации либо антисимметризации к обычному произведению одночастичных волновых функций результирующая волновая функция уже не несет информации о конкретном состоянии каждой частицы, а заключает в себе лишь сведения о количестве частиц, находящихся в данном i-ом состоянии. Числа N_i частиц, находящихся в различных состояниях, получили наименование чисел заполнения; при этом вектор состояния физической системы задавался в форме, фиксирующей числа заполнения всех возможных состояний системы: .

Основной чертой метода вторичного квантования было введение операторов и , описывающих рождение и уничтожение частицы в i-ом состоянии. К примеру, действие операторов рождения и уничтожения на вектор состояния системы тождественных частиц с целочисленным спином (т.е. частиц, подчиняющихся статистике Бозе-Эйнштейна), определялось соотношениями:

. (19.6)

Состояние ₀ с равными нулю числами заполнения всех состояний, получившее название физического вакуума, было интерпретировано как низшее энергетическое состояние системы полей. При этом выполнялись очевидные соотношения:

; , (19.7)

второе из которых отвечало невозможности уничтожить частицу в вакуумном состоянии, где частиц и так нет. Вакуумный вектор состояния ₀ имел особое значение, т.к. из него при помощи операторов рождения можно было получить вектор любого состояния системы полей.

Перестановочные соотношения для операторов рождения и уничтожения имели вид

;

(19.8)

в случае системы частиц с целочисленным спином, или

;

(19.9)

для системы одинаковых частиц с полуцелым спином. Итак, вид перестановочных соотношений зависел от того, подчиняются ли частицы статистике Бозе-Эйнштейна (как, например, фотоны) или статистике Ферми-Дирака (например, электроны): в первом случае число частиц в конкретном состоянии было не ограничено, во втором оно не могло превышать единицы.

Из операторов и можно было построить играющий важную роль оператор числа частиц , собственным значением которого являлось количество частиц в i-ом состоянии:

. (19.10)

Через собственные значения оператора числа частиц выражались все «корпускулярные» величины, характеризующие систему. Импульс , энергия E, электрический заряд Q системы представлялись в виде сумм:

; ; . (19.11)

Поскольку корпускулярно-волновой дуализм был присущ всем известным физическим полям, то метод вторичного квантования оказался универсальным аппаратом квантовой теории. Однако особо важную роль этот метод приобрел при описании физических систем, в которых существенны взаимные превращения полей, т.е. рождение одних и уничтожение других частиц.

Квантовая теория электромагнитного поля была развита на основе канонического формализма. Обычный способ представления решения волнового уравнения для векторного потенциала в классической электродинамике

(19.12)

в канонической форме заключается в переходе к импульсному представлению, т.е. в разложении в тройной ряд Фурье по плоским монохроматическим волнам:

. (19.13)

При этом вычисление полной энергии поля в объеме V

(19.14)

с учетом известных соотношений и приводит к выражению

. (19.15)

С помощью замены переменных

;

(19.16)

выражение для энергии поля (19.15) приводится к каноническому виду, представляющему собой гамильтониан поля:

. (19.17)

Он совпадает с гамильтонианом механической системы осцилляторов единичной массы с частотами _k, поэтому о соотношении (19.17) говорят как о разложении поля по осцилляторам. Разлагая векторы и по двум взаимно ортогональным единичным векторам поляризации, получаем:

. (19.18)

Такой способ классического описания электромагнитного поля делает очевидным путь перехода к квантовой теории. А именно, далее необходимо рассматривать канонические переменные – обобщенные координаты Q_k и обобщенные импульсы P_k – как операторы с обычным правилом коммутации:

. (19.19)

Вместе с ними становятся операторами также и векторный потенциал и напряженности поля и . Наконец, определяя операторы и посредством соотношений

;

, (19.20)

приводим гамильтониан поля (19.18) к виду:

. (19.21)

Операторы и удовлетворяют правилу коммутации:

, (19.22)

поэтому гамильтониан (19.21) переписывается в виде:

. (19.23)

Операторы , и оператор характеризуются матричными элементами

,

. (19.24)

Собственными значениями гамильтониана (19.23) являются значения энергии электромагнитного поля:

. (19.25)

Представление операторов, осуществляемое матричными элементами (19.24), есть не что иное как представление чисел заполнения – оно отвечает описанию состояния поля путем задания чисел заполнения . В этом представлении операторы поля , , и гамильтониан (19.23) действуют на волновую функцию системы, являющуюся функцией чисел заполнения N_k. Операторы и есть, соответственно, операторы рождения и уничтожения квантов поля – фотонов, а – оператор числа фотонов.

Интерпретация соотношения (19.25) как формулы для энергии поля приводит к следующей проблеме. Наиболее низкому уровню энергии поля соответствует равенство нулю всех чисел заполнения. Но даже в этом случае энергия электромагнитного поля оказывается бесконечно большой:

. (19.26)

Таким образом, вакуум нельзя определить как состояние с нулевой энергией, поэтому вакуум определяется как состояние поля с наименьшей энергией. При таком определении энергия вакуума все равно получается бесконечно большой. Однако наличие в энергии электромагнитного поля бесконечно большого постоянного слагаемого (19.26) не сказывается на процессах взаимодействия поля с веществом, т.е. на процессах излучения, поглощения и рассеяния света. При этих процессах имеет место такое изменение состояния электромагнитного поля, при котором существенной оказывается лишь разность энергий двух состояний. Поэтому было принято, что трудности, связанные с бесконечно большой энергией (19.26), могут быть преодолены с помощью так называемого правила «вычитания вакуума», согласно которому наблюдаемые эффекты определяются как разница между полными эффектами, предсказываемыми теорией, и ненаблюдаемыми вакуумными эффектами.

В соответствии с этим правилом, нулевая энергия (19.26) могла быть принята за начало отсчета энергии, а значит, просто опущена в выражении (19.25) для энергии электромагнитного поля:

. (19.27)

Для импульса поля теория приводила к выражению:

. (19.28)

Таким образом, свободное электромагнитное поле могло рассматриваться как совокупность фотонов, каждый из которых имеет энергию и импульс , а числа заполнения N_k приобретали смысл числа фотонов с данными импульсом и поляризацией.