И

Гипотеза де Бройля

так, концепция корпускулярно-волно-вого дуализма была сформулирована, прежде всего, при изучении природы света. В работах 1923-24 гг. французский физик Луи де Бройль выдвинул гипотезу, что корпускулярно-волновой дуализм присущ не только электромагнитному излучению, но и любым микрочастицам вещества. Аргументируя свое предположение о существовании волновых свойств у частиц вещества, де Бройль писал: «… если в теории света в течение целого столетия слишком пренебрегали понятием «частицы» для того, чтобы пользоваться исключительно понятием «волны», не была ли допущена обратная ошибка в теории материи? Были ли вправе физики пренебрегать понятием «волны» и думать только о понятии «частицы»? Эти вопросы несколько лет тому назад задал себе автор, обдумывая аналогию между принципом наименьшего действия и принципом Ферма и пытаясь отыскать смысл таинственных квантовых условий, введенных во внутриатомную динамику Планком, Бором, Вильсоном и Зоммерфельдом».

Здесь де Бройль имеет в виду оптико-механическую аналогию, подмеченную Гамильтоном в 20-х годах XIX столетия. Эта аналогия заключалась в том, что основные законы геометрической оптики и классической механики допускали представление в математически тождественной форме. Но геометрическая оптика не могла объяснить всех свойств света. Для объяснения таких явлений, как интерференция и дифракция, нужно было пользоваться волновой оптикой, имевшей более общее значение: геометрическая оптика являлась предельным (для очень коротких волн) случаем волновой оптики. Не следует ли отсюда, рассуждал де Бройль, что и классическая механика является лишь предельным случаем еще неизвестной волновой механики?

Основные идеи де Бройля сводились к следующему. Так же, как и фотон, частицы вещества обладают и корпускулярными и волновыми свойствами. Согласно де Бройлю, движущейся в направлении оси x свободной частице с импульсом и энергией E при помощи двух соотношений E = h и p = h/ можно сопоставить монохроматическую плоскую волну

.

Таким образом, длина волны де Бройля, соответствующая частице с импульсом , равна  = h/p.

Фазовая скорость волн де Бройля превышает скорость света в вакууме: . В этом факте нет противоречий. Фазовая скорость, не характеризующая ни скорости «сигнала», ни скорости переноса энергии, вообще не может быть измерена на опыте, и поэтому может принимать любое значение.

Гораздо более примечателен тот факт, что групповая скорость волн де Бройля равна скорости v свободно движущейся частицы. Это справедливо и в классическом случае, когда энергия частицы связана с ее импульсом посредством соотношения E = p²/2m, и в релятивистском случае, когда следует пользоваться формулой . Полученное соотношение вызывало искушение интерпретировать частицу как волновой пакет, образованный суперпозицией некоторой группы волн. Однако такая интерпретация натолкнулась на непреодолимые трудности, ибо волновой пакет неустойчив и очень скоро расплывается.

Отметим, наконец, еще одно замечательное свойство волн де Бройля. Теория де Бройля впервые объясняла квантовые условия устойчивости круговых орбит электрона, постулированные Бором. Движение электрона по круговой орбите следовало считать устойчивым лишь в том случае, когда длина волны де Бройля укладывается целое число раз на окружности, описываемой электроном в атоме: 2r = n. Из этого условия с учетом выражения для длины волны де Бройля непосредственно следует боровское условие квантования для момента импульса: .

У

Возникновение квантовой статистики

крепление представлений о корпускулярно-волновом дуализме света обусловило попытки вывести формулу Планка для спектральной плотности излучения (14.20) в предположении, что излучение представляет собой совокупность фотонов. Первые работы в этом направлении опирались на применение методов классической статистики Больцмана к системе квантов, трактуемой как идеальный газ частиц с энергиями h и импульсами h/c.

Однако подобные попытки потерпели неудачу. Одна из причин этого заключалась в следующем. В обычной кинетической теории газов размер ячеек, на которые разбивалось фазовое пространство для подсчета количества возможных микросостояний, не играл никакой роли и выпадал из дальнейших вычислений. Однако в случае статистики световых квантов размер ячейки оказался очень важным параметром. Учитывая соотношение p = h/c, связывающее импульс фотона с частотой электромагнитного излучения, легко было преобразовать формулу для числа собственных колебаний электромагнитного поля объема V в частотном интервале от  до  +  к виду . Из этого выражения видно, что g представляет собой количество ячеек в элементе фазового объема  = V 4p²p (здесь 4p²p – объем шарового слоя в импульсном пространстве), вычисленное с учетом удвоения числа состояний за счет поляризации, если принять фазовый объем одной ячейки равным . Именно в этом состояла гипотеза, выдвинутая Саккуром и Тетроде еще в 1911 –12 гг. Как стало ясно позже, предложенный ими конечный размер ячейки, равный , точно согласовался с соотношением неопределенностей Гейзенберга (см. формулу 18.32).

Кроме того, пришлось отказаться от условия постоянства числа частиц, имевшего место в больцмановской статистике. Это было обусловлено способностью квантов света рождаться в каждом процессе излучения и исчезать при поглощении.

Но даже этих допущений оказалось недостаточно для получения формулы Планка на статистической основе, т.к. применение методов статистики Больцмана приводило к формуле Вина . Становилась очевидной необходимость перестроить фундамент самой статистической физики, чтобы перейти к новой квантовой статистике.

Способ, позволяющий это сделать, был указан в 1924 году индийским физиком Ш. Бозе и усовершенствован А. Эйнштейном. Они постулировали абсолютную тождественность, неразличимость световых квантов. Используя этот постулат и полагая, что в каждой ячейке фазового пространства может содержаться любое количество квантов, можно показать, что число различных способов распределения n тождественных квантов по g ячейкам шарового слоя в импульсном пространстве объемом 4p²p описывается формулой . Тогда число различных вариантов распределения в случае, когда первый шаровой слой содержит n₁ квантов, второй – n₂ квантов и т.д., представляет собой произведение выражений такого типа, соответствующих всем слоям пространства импульсов:

Логарифмируя это соотношение, применяя формулу Стирлинга , а также пренебрегая единицей по сравнению с большими числами n_i и g_i, получаем

.

Наиболее вероятному распределению квантов по состояниям отвечает максимум величины lnW. Обычная процедура исследования на максимум с учетом дополнительного условия постоянства полной энергии , где , приводит к соотношению

,

откуда следует, что распределение квантов по состояниям имеет вид

.

Используя это распределение, Бозе и Эйнштейн получили формулу для спектральной плотности энергии

.

Это и есть формула Планка (14.20), если положить  = kT. Справедливость последнего допущения следовала из общих соотношений термодинамики.

Сформулированный Вольфгангом Паули принцип послужил основой другой квантовой статистики для частиц, подчиняющихся этому принципу. Эта статистика была создана Энрико Ферми, сообщившим о ней в статье «О квантовании идеального газа», опубликованной в марте 1926 года. Независимо от Ферми эта же статистика была создана и представлена Лондонскому Королевскому обществу Дираком в августе того же года. Таким образом, 1926 год вошел в историю физики как год создания статистики Ферми-Дирака.

В статистике Ферми-Дирака, равно как и в статистике Бозе-Эйнштейна, постулировалась абсолютная тождественность частиц, но учитывался принцип Паули, согласно которому в каждой ячейке фазового пространства может содержаться не более одной частицы. Обозначая, как и выше, через g_i количество ячеек в i – ом шаровом слое пространства импульсов, а через n_i – число частиц с импульсами в этом слое, можно получить, что число различных способов распределения n_i частиц по g_i ячейкам в рассматриваемом случае равно . Соответственно, полное число различных вариантов распределения, когда первый шаровой слой содержит n₁ частиц, второй – n₂, и т.д., равно

.

Логарифмируя, как и выше, это соотношение и исследуя на максимум при дополнительных условиях сохранения полного числа частиц и полной энергии системы , Ферми и Дирак пришли к формуле распределения частиц, подчиняющихся принципу Паули:

,

где  и  – некоторые постоянные.