К

Введение в квантовую механику линейных операторов

их числу в первую очередь относятся работы молодого английского теоретика П. Дирака «Фундаментальные уравнения квантовой механики» и «Квантовая механика и предварительное исследование атома водорода», а также статья М. Борна и Н. Винера «Новая формулировка квантовых законов для периодических и непериодических процессов». Дирак ввел в теорию квантовые скобки Пуассона и частично решил задачу о движении электрона в кулоновском поле ядра. В работе Борна и Винера гейзенберговские матрицы рассматривались как операторы, и, таким образом, впервые в квантовой механике была применена теория линейных эрмитовых операторов. Согласно принципу соответствия, между операторами в квантовой механике должны были иметь место те же соотношения, что и между отвечающими им величинами в классической физике.

В частности, введенные Дираком квантовые скобки Пуассона должны были являться аналогом скобок Пуассона в классической механике:

.

В теории Дирака, Борна и Винера операторам, соответствующим величинам F и R, отвечает квантовая скобка Пуассона:

. (18.12)

Квантовые скобки Пуассона явились эффективным средством определения вида линейных операторов, соответствующих в квантовой механике динамическим переменным классической механики. Так, для канонически сопряженных величин – координаты и импульса – в классической механике имеют место соотношения:

; ; .

В предположении, что действие оператора координаты сводится к умножению на эту координату, и что квантовые скобки Пуассона операторов координаты и импульса равны тем же значениям, что и в классической механике, удалось получить перестановочные соотношения

;

и определить вид операторов проекций импульса: .

К

Волновая механика Шредингера

январю 1926 года относится и первая работа австрийского физика Э. Шредингера по волновой механике. В противоположность матричной механике, дискретный математический аппарат которой соответствовал корпускулярным представлениям, математический аппарат примененной Шредингером теории дифференциальных уравнений отвечал волновым представлениям. Уже в первой статье «Квантование как проблема собственных значений (первое сообщение)» Шредингер получил для атома водорода дифференциальное уравнение второго порядка для непрерывной функции от координат электрона – волновой функции. В том же томе журнала «Annalen der Physik» в 1926 году были опубликованы еще две статьи Шредингера: «Квантование как проблема собственных значений (второе сообщение)» и «О связи квантовой механики Гейзенберга-Борна-Йордана с моей».

В первой из этих работ Шредингер обобщил гипотезу де Бройля на случай, когда электрон не является свободным, а движется во внешнем поле, например, в кулоновском поле ядра. Шредингер, как и де Бройль, исходил из оптико-механической аналогии Гамильтона.

Оптические волновые уравнения для компонент векторов и имеют вид:

, (18.13)

где  – оператор Лапласа; n – показатель преломления среды; c – скорость света в вакууме. В общем случае монохроматической, но не обязательно плоской волны, когда справедливо выражение

,

амплитуда E_x0 удовлетворяет уравнению

. (18.14)

В приближении геометрической оптики (справедливой в случае малых длин волн) решение этого уравнения можно представить в виде:

, (18.15)

где функция (x,y,z) носит название эйконала. В предельном случае   0 эйконал удовлетворяет уравнению

, (18.16)

по форме абсолютно аналогичному классическому уравнению Гамильтона-Якоби для одной частицы в стационарном случае (E = const):

, (18.17)

где W – характеристическая функция Гамильтона.

Итак, оптико-механическая аналогия, известная еще Гамильтону, была неполной. Она ограничивалась геометрической оптикой, которая является лишь приближением к волновой оптике. «Быть может, наша классическая механика, – писал Шредингер, – представляет полную аналогию с геометрической оптикой и подобно последней отказывается служить и не согласуется с действительным положением вещей при размерах и радиусе кривизны траекторий, приближающихся по величине к некоторой длине волны…». Итак, Шредингер предполагает, что механика микрочастиц должна иметь волновой характер.

Поэтому Шредингер приходит к мысли, что электрону необходимо сопоставить некоторую волновую функцию . Часть волновой функции, зависящая от координат, должна удовлетворять уравнению, аналогичному (18.14):

, (18.18)

где u – скорость электрона. Но в этом уравнении есть квадрат волнового вектора, который, согласно гипотезе де Бройля, можно представить в виде . С другой стороны, в классической механике квадрат импульса, выраженный через корпускулярные характеристики частицы, равен . Заменяя в уравнении (18.18) на , Шредингер приходит к уравнению

, (18.19)

утвердившемуся в физике под названием стационарного уравнения Шредингера.

Применив полученное уравнение к атому водорода , Шредингер установил, что для отрицательных значений полной энергии (E < 0) это уравнение имеет решения лишь при определенных дискретных значениях энергии:

, (18.20)

где n – любое целое положительное число. Таким образом, из уравнения Шредингера автоматически следовало хорошо известное выражение для возможных значений энергии атома водорода, ранее найденное Бором на основе сформулированных им постулатов. Это же решение было получено В. Паули методами матричной механики.

В работе «О связи квантовой механики Гейзенберга-Борна-Йордана с моей» Шредингером была установлена математическая идентичность матричной и волновой механик, детально проанализирована их связь и, независимо от работы Борна и Винера, введены операторы физических величин. Введение в квантовую механику линейных операторов Шредингер считал связующим звеном между матричной и волновой механикой.

Волновые функции ₁(q), ₂(q), ₃(q), …, являющиеся решениями стационарного уравнения Шредингера, отвечающими собственным значениям энергии E₁, E₂, E₃, …, образуют полную ортогональную систему функций. Если эти функции нормированы, т.е. выполняется условие

, (18.21)

то с их помощью можно образовать матрицу для произвольного линейного оператора:

. (18.22)

Шредингер применил разработанный им математический аппарат к вычислению матричных элементов операторов различных физических величин. В частности, полагая, что оператор, соответствующий координате q, сводится к умножению на эту координату, он получил выражение для матричных элементов координаты:

. (18.23)

Аналогично, используя представление оператора проекций импульса в виде, Шредингер получил матричные элементы матрицы импульса

. (18.24)

Действие оператора Гамильтона, играющего роль оператора полной энергии частицы, на какую-либо из собственных функций _k(q) сводилось к умножению этой функции на собственное значение энергии E_k , поэтому матрица энергии оказалась диагональной, а ее диагональные элементы совпадали с собственными значениями энергии:

. (18.25)

Следует упомянуть, что взаимосвязь матричной и волновой механик независимо от Шредингера была установлена В. Паули, который, ознакомившись со статьей Шредингера, не стал публиковать свои результаты, а также Эккартом. В мае – июне 1926 года в «Annalen der Physik» были опубликованы еще две статьи Шредингера. В первой из них была развита теория возмущений, позволяющая находить приближенное решение многих задач квантовой механики в случаях, когда рассматриваемая система подвергается малым воздействиям. Методами теории возмущений Шредингер построил квантовомеханическую теорию эффекта Штарка с подробным расчетом интенсивностей в картине штарковского расщепления спектральных линий атома водорода.

В последней работе было впервые приведено нестационарное уравнение Шредингера и развита теория возмущений, зависящих от времени. Нестационарное уравнение Шредингера являлось обобщением волнового уравнения на случай, когда волновая функция зависит от времени. Волновая функция, описывающая движение свободной частицы, является волной де Бройля:

.

Она содержит экспоненциальный множитель . Поэтому Шредингер выбирает выражение для зависящей от времени волновой функции в виде

(18.26)

и дифференцирует его по времени:

. (18.27)

Исключая из этого уравнения E с помощью (18.19), Шредингер приходит к общему уравнению волновой механики:

. (18.28)

В этой работе Шредингер окончательно установил, что соответствующие линейным операторам матрицы, образованные с помощью функций _k(q), являющихся решениями волнового уравнения, представляют собой не что иное, как матрицы Гейзенберга. Согласно (18.4), элементы гейзенберговских матриц содержат экспоненциальный множитель . Но при образовании соответствующих матричных элементов по формуле (18.22) нужно, вообще говоря, использовать не функции _k(q), являющиеся решениями стационарного уравнения (18.19), а решения нестационарного уравнения (18.28), имеющие вид (18.26). При этом и получаются матричные элементы, содержащие экспоненциальный множитель .

Работы Э. Шредингера сразу приобрели известность, уравнение Шредингера стали широко применять. Благодаря установлению связи матричной механики с волновой стала быстро развиваться квантовая механика, в создании обобщенного математического аппарата которой сыграли важную роль работы П. Дирака, в частности, его статьи «О теории квантовой механики» и «Физическая интерпретация квантовой механики», опубликованные, соответственно, в августе и в декабре 1926 года. Разработке обобщенной формы квантовой механики была посвящена также опубликованная в декабре 1926 г. работа П. Йордана «О новом обосновании квантовой механики». К 1926 году относятся также статья В. Гейзенберга и П. Йордана «Применение квантовой механики к проблеме аномального эффекта Зеемана», в которой методами матричной механики была выведена известная формула Зоммерфельда для тонкой структуры, статья Ф. Лондона «Закон сохранения энергии и принцип Ридберга в квантовой механике», работа И. Е. Тамма «К квантовой механике ротатора» и др.

Три работы Гейзенберга 1926 года были посвящены квантовомеханической задаче многих тел. Уже в первой из этих работ Гейзенберг ввел понятие о симметричных и антисимметричных волновых функциях для системы, состоящей из двух одинаковых частиц; в следующей работе на этой основе был исследован спектр гелия, а в третьей работе были рассмотрены и многоэлектронные атомы. Вопрос о симметрии и антисимметрии волновых функций рассматривался и в работах Дирака. В статьях Вигнера, объединенных общим названием «О некомбинирующих терминах в новой квантовой теории» в квантовой механике были успешно использованы методы теории групп.

Перед Шредингером неизбежно встал вопрос о физическом смысле введенной им волновой функции. И Шредингер, относившийся отрицательно к представлениям о корпускулярно-волновом дуализме микрочастиц, увидел выход в признании именно волновой природы электрона. Электрон, по мнению Шредингера, не является частицей, а представляет собой электрический заряд e, распределенный в пространстве таким образом, что величина равна плотности заряда. С этой точки зрения атом водорода представляет собой ядро, окруженное облаком отрицательного заряда, и если атом находится в стационарном состоянии _k , то плотность заряда не зависит от времени и остается постоянной. Если же атом находится в состоянии, которое описывается более сложной волновой функцией

,

то плотность заряда

не остается постоянной, а осциллирует с частотами , которые совпадают с боровскими частотами, и при этом атом излучает.

Такая интерпретация волновой функции показалась Шредингеру удачной. Она, на первый взгляд, возвращала к представлению о непрерывности физических процессов. Однако эта интерпретация встретила целый ряд трудностей. Во-первых, чтобы атом излучал, он должен был находиться в некотором странном состоянии, являющемся суперпозицией нескольких стационарных состояний. При этом исключалась возможность спонтанного излучения атома, находящегося в конкретном возбужденном стационарном состоянии. Более того, в рамках шредингеровской интерпретации волновой функции оказывалась невозможной интерпретация электрона как частицы. Для решения этого вопроса Шредингер обратился, как в свое время и де Бройль, к представлению о волновом пакете, т.е. попытался представить электрон в виде группы волн, занимающей определенную область пространства и движущейся целиком. Однако расчеты показали невозможность образования из волн де Бройля волнового пакета, способного достаточно долго сохранять свои размеры в пространстве, двигаясь как целое без расплывания.