Глава V механика в XVIII веке
«Начала» Ньютона, как уже отмечалось выше, были изложены тяжелым геометрическим языком. Доказательства механических законов были громоздки и сложны. В XVIII веке усилиями целой плеяды великолепных математиков и механиков созданные Ньютоном основы были превращены в аналитическую механику, использующую методы дифференциального и интегрального исчисления. Особо следует отметить академика Петербургской Академии Леонарда Эйлера и парижского академика Жозефа Луи Лагранжа.
Леонард Эйлер
«Механика» Эйлера была по существу первым систематическим курсом ньютоновской механики. В ней нашли отражение дискуссии ньютонианцев и картезианцев. Шла ли речь о пустом абсолютном пространстве Ньютона или о непрерывной материальной протяженности Декарта, о силах, действующих на расстоянии в пустоте, или о взаимодействующих только при непосредственном контакте реальных телах – по каждому вопросу точки зрения ньютонианцев и картезианцев расходились. Для математических расчетов концепция ньютонианцев была более удобной, и Эйлер ее принял. Но Эйлер подчеркивал, что абсолютное пространство вводится лишь для удобства математического описания. Он писал в «Механике»: «То, что мы говорили здесь о безграничном и неизмеримом пространстве, должно рассматриваться, как чисто математическое выражение ... Мы ведь не утверждаем, что существует подобного рода бесконечное пространство, ... мы требуем только одного, чтобы тот, кто хочет исследовать вопрос об абсолютном движении и абсолютном покое, представил себе такое пространство и отсюда уже судил о состоянии покоя или движения тел». Итак, Эйлер рассматривает ньютоновское абсолютное пространство как удобную математическую абстракцию, полезную для описания механического движения тел. Из других же его трудов следует, что и картезианская концепция непрерывной материальной среды и взаимодействий между телами и частицами лишь при непосредственном контакте занимала важное место в его физических воззрениях.
Основой динамики
Эйлера служит теорема о том, что действие
силы
на материальную точку массы
совпадает с действием силы
на материальную точку массы
,
если выполняется соотношение
(5.1)
Это одинаковое действие сил на тела есть не что иное как ускорение тел. Поэтому из пропорции (5.1) следует
,
(5.2)
или вообще
(5.3)
В «Механике» Эйлер записывает основное уравнение динамики для прямолинейного движения материальной точки (в современных обозначениях) в следующем виде:
(5.4)
где dv – дифференциал скорости; F – сила; m – масса тела; n – коэффициент пропорциональности.
В 1742 году в своей работе «Трактат о флюксиях» английский математик Маклорен ввел метод разложения сил и движений по трем взаимно перпендикулярным координатным осям. Эйлер осознавал векторный характер силы и принимал за ее направление ту прямую, «вдоль которой она стремится двигать тело». В «Теории движения твердых тел» Эйлер использовал предложенный Маклореном метод и свел решение задачи о движении материальной точки под действием заданных сил к решению системы дифференциальных уравнений:
(5.5)
где – коэффициент пропорциональности, определяемый выбором единиц.
Таким образом, Эйлер переформулировал основные понятия ньютоновской механики, придав им более ясную и удобную форму, но сохранив сущность ньютоновских определений. Он выдвинул на центральное место второй закон, сделав его стержнем всей механики и придав ему аналитическую форму. С помощью этого закона Эйлер рассматривает в «Механике» различные случаи движения свободной и несвободной материальной точки.
Эйлер был исключительно «плодовит» в научном отношении: общее количество трудов Эйлера достигает почти 850, среди которых около 20 фундаментальных книг. Исследования в области физики неоднократно ставили перед Эйлером сугубо математические задачи, что побуждало его заниматься многими разделами математики, где он заложил основы ряда научных направлений, в частности, теории функций комплексной переменной, вариационного исчисления, теории специальных функций и др.
В «Теории движения твердого тела» Эйлер развил механику вращательного движения. Он ввел в механику основные понятия динамики твердого тела, такие, как момент инерции, свободные оси и т.д. Эйлер установил закон сохранения момента количества движения (т.е. момента импульса), развил теорию моментов инерции, сформулировал уравнения динамики вращательного движения твердого тела; они и сегодня присутствуют во всех солидных курсах механики под названием уравнений Эйлера.