2. Прямой метод Ляпунова.

Прямой метод Ляпунова позволяет получать достаточные условия устойчивости нелинейных систем автоматического управления.

Задача об устойчивости нулевого решения x=0 системы дифференциальных уравнений

- метод не требует решения уравнений возмущенного движения. Он сводит решение задачи устойчивости нулевого решения системы к изучению свойств функций Ляпунова.

Сформулированы теоремы об устойчивости положения равновесия: «если можно указать такую знакоопределенную функцию Ляпунова , что ее производная является знакопостоянной функцией, противоположного с функцией V знака,то положение равновесия является устойчивым» и об асимптотической устойчивости положения равновесия: «если можно указать такую знакоопределенную функцию Ляпунова , что ее производная является знакоопределенной функцией, противоположного с функцией V знака,то положение равновесия является асимптотически устойчивым».

Недостатком прямого метода Ляпунова является отсутствие общих приемов отыскания функции Ляпунова и невозможность оценки, насколько достаточны условия «в большом» уже необходимых условий устойчивости.

3. Критерий Попова.

Критерий В.М. Попова позволяет установить абсолютную устойчивость «в большом».Носит достаточный характер.

Геометрическая интерпретация критерия Попова: «Если линейная часть системы устойчива и ее модифицированная амплитудно-фазовая характеристика находится справа от прямой Попова, то положение равновесия абсолютно устойчиво. При этом на прямую Попова накладываются следующие ограничения:

- прямая Попова может иметь произвольный положительный или отрицательный наклон

-прямая Попова может проводиться вертикально»

Иначе говоря, если через точку (-k0,j0) можно провести прямую таким образом, чтобы модифицированная амплитудно-фазовая характеристика линейной части располагалась справа от этой прямой, то положение равновесия будет абсолютно устойчивым.

Рис.23. Геометрическая интерпретация критерия Попова.

Wм(jw)-модифицированный годограф.

Критерий Попова носит достаточный характер, то есть, если он выполняется, положение равновесия абсолютно устойчиво. Если требования критерия не выполняются, то вопрос об устойчивости положения равновесия остается открытым.

4. Метод гармонического баланса.

Метод гармонического баланса основан на разложении периодических функций в ряд Фурье.

Задача метода: исследование автоколебаний в нелинейной системе. Определение устойчивости автоколебаний и их параметров.

В общем случае искомые переменные в нелинейной цепи несинусоидальные и содержат бесконечный спектр гармоник. Ожидаемое решение можно представить в виде суммы основной и нескольких высших гармоник, у которых неизвестными являются амплитуды и начальные фазы. Необходимо отметить, что точное решение требует учета бесконечного числа гармоник, что невозможно осуществить практически. В результате ограничения числа рассматриваемых гармоник точный баланс нарушается, и решение становится приближенным.

Но существует ситуация, когда метод гармонического баланса дает неудовлетворительный результат. Данный метод нельзя применять, если линейная часть системы обладает выраженными резонансными свойствами (колебательное звено с малым декрементом затухания).

Частным случаем метода гармонического баланса является метод гармонической линеаризации, когда высшими гармониками искомых переменных, а также входных воздействий пренебрегают. Служит для приближенного определения периодических решений (автоколебаний) и устойчивости нелинейных систем любого порядка. При анализе используется характеристика нелинейного элемента по первым гармоникам, для получения которой в аналитическое выражение нелинейной характеристики для мгновенных значений подставляется первая гармоника одной из двух переменных, определяющих эту характеристику, и находится нелинейная связь между амплитудами первых гармоник этих переменных.

Его суть заключается в том, что для каждого нелинейного элемента вводят понятие эквивалентного комплексного коэффициента усиления и далее рассматривают условие наличия в системе автоколебаний (пересечение АФХ линейной части системы с инверсной характеристикой НЭ). Точность метода гармонической линеаризации возрастает с увеличением порядка системы. Но он даёт ошибку для простых систем и может применяться лишь при наличии в системе одной нелинейности. Метод гармони­ческой линеаризации является приближённым методом, потому что предполага­ется, что линейная часть системы является фильтром низких частот, т. е. пропус­кает только лишь первую гармонику входного сигнала и не пропускает все более высокие гармоники. Любая реальная система пропускает все гармоники входного сигнала, начиная со второй, но с разными коэффициентами усиления, которые существенно меньше, чем коэффициент усиления первой гармоники.

Применение метода гармонического баланса сводится к гармонической линеаризации нелинейного элемента, построению частотных характеристик, с последующим их анализом.