- •Министерство образования и науки российской федерации
- •Дифференциальные уравнения первого порядка
- •Уравнения с разделёнными и разделяющимися переменными
- •Однородные уравнения первого порядка
- •Линейные уравнения первого порядка
- •Уравнение в полных дифференциалах
- •Интегрирующий множитель
- •Дифференциальные уравнения высших порядков
- •Уравнения вида
- •Уравнения второго порядка, приводящиеся к уравнениям первого порядка
- •Линейные однородные уравнения. Определения и общие свойства
- •Линейные однородные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами
- •Линейные однородные уравнения го порядка с постоянными коэффициентами
- •Неоднородные линейные уравнения второго порядка
- •Неоднородные линейные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами
- •Неоднородные линейные уравнения высших порядков
- •Системы обыкновенных дифференциальных уравнений
- •Системы линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами
- •Р я д ы Числовые ряды Числовой ряд. Сумма ряда. Необходимый признак сходимости ряда
- •Достаточные признаки сходимости рядов с положительными членами
- •Знакопеременные ряды
- •Функциональные ряды
- •Ряды Тейлора и Маклорена
- •Ряды Фурье
- •Ряды Фурье для четных и нечетных функций
- •Ряд Фурье для функции с периодом
- •К о м б и н а т о р и к а
- •Общие правила комбинаторики
- •Соединения в комбинаторике
- •Размещения без повторений
- •Перестановки без повторений
- •Сочетания без повторений
- •Размещения с повторениями
- •11 12 13 14 15 16 17 19
- •Перестановки с повторениями
- •Т е о р и я в е р о я т н о с т е й Случайные события Основные понятия теории вероятностей
- •Основные теоремы теории вероятностей Теорема сложения вероятностей несовместных событий
- •Зависимые и независимые события. Условная вероятность
- •Теорема умножения вероятностей
- •Теорема сложения вероятностей совместных событий
- •Вероятность появления хотя бы одного события
- •. Формула полной вероятности
- •Формула Бейеса
- •Повторение испытаний
- •Формула Бернулли
- •Локальная теорема Лапласа
- •. Формула Пуассона
- •Интегральная теорема Лапласа
- •Случайные величины Случайная величина. Виды случайных величин
- •Закон распределения вероятностей дискретной случайной величины
- •Числовые характеристики дискретных случайных величин
- •Математическое ожидание дискретной случайной величины
- •Дисперсия дискретной случайной величины
- •Плотность распределения вероятностей непрерывной случайной величины
- •Числовые характеристики непрерывных случайных величин
- •Законы распределений
- •Равномерное распределение
- •Нормальное распределение
- •. Правило трёх сигм
- •Показательное распределение
- •Функция надёжности
- •Элементы математической статистики Основные сведения из математической статистики
- •Статистическое распределение выборки. Полигон и гистограмма
- •1 4 6
- •10 15 25
- •Статистические оценки параметров распределения
- •Оценка генеральной дисперсии по исправленной выборочной
- •Точность оценки, доверительная вероятность (надёжность). Доверительный интервал
- •Методы расчёта сводных характеристик выборки
- •Сведение первоначальных вариант к равноотстоящим
- •Оценка отклонения теоретического и эмпирического распределений от нормального. Асимметрия и эксцесс
- •Элементы теории корреляции
- •. (1)
- •(4) . (5) Корреляционная таблица
- •Отыскание параметров выборочного уравнения прямой линии регрессии по сгруппированным данным
- •Методика вычисления выборочного коэффициента корреляции
- •. Статистическая проверка статистических гипотез
- •Линейное программирование Задача линейного программирования
- •Построение математической модели
- •Графическое решение задачи линейного программирования
- •Симплексный метод решения задачи линейного программирования
- •Решение задачи 1 симплексным методом
- •Искусственное начальное решение. Метод больших штрафов.
- •Особые случаи применения симплекс-метода
- •1.7.2 Бесконечное множество решений
- •1.7.4 Неограниченные решения
- •1.7.5 Промежуточное вырожденное решение
- •Задача о назначениях
- •4 Изменение запаса ресурса продукта а 7
- •1 Изменение единицы стоимости продукта а 4
- •Заключение
Функциональные ряды
Ряд называется функциональным, если его члены являются функциями от.
Рассмотрим функциональный ряд . Даваяопределенные числовые значения, получим различные числовые ряды, которые могут оказаться сходящимися или расходящимися. Совокупность тех значений, при которых функциональный ряд сходится, называют областью сходимости этого ряда. Очевидно, что в области сходимости ряда его сумма является некоторой функцией от. Поэтому сумму функционального ряда обозначают через.
Среди функциональных рядов наиболее распространенным является степенной ряд.
Степенным рядом называется ряд вида , (9)
где постоянные числа, называемые коэффициентами ряда.
При каждом фиксированном значении переменной степенной ряд превращается в некоторый числовой ряд. Если полученный для какого-то значениячисловой ряд оказывается сходящимся, то говорят, что при этом значении, или в этой точке степенной ряд сходится. Если же для другого значениясоответствующий числовой ряд окажется расходящимся, то говорят, что степенной ряд в такой точке расходится. Совокупность значений, при которых заданный степенной ряд сходится, называется областью сходимости степенного ряда. Область сходимости степенного ряда является интервалом числовой оси, симметричным относительно точки.
Определение интервала сходимости степенного ряда строится на подчинении значений условию сходимости числового ряда. Если все коэффициенты степенного ряда отличны от нуля, то применение для этой цели признака Даламбера приводит к неравенству
. (10)
Знак абсолютного значения связан с тем, что коэффициенты степенного ряда и значения переменной могут быть как положительными, так и отрицательными числами. Условие (10) после преобразования принимает вид
,
откуда
. (11)
Неотрицательное число, определяемое этим пределом (если он существует), называется радиусом сходимости степенного ряда и обозначается символом . Таким образом, радиус сходимости степенного ряда
. (12)
Знак абсолютной величины для тех значений , при которых степенной ряд сходится (11), позволяет определить интервал сходимости в виде. Этим охватывается совокупность и положительных и отрицательных значений, при которых степенной ряд сходится.
В соответствии с возможными значениями предела (12) различаются три случая для интервала сходимости степенного ряда.
При интервал сходимости степенного ряда является множество всех действительных чисел.
При интервал сходимости вырождается в точку, и соответствующий ряд сходится к своему свободному члену.
При конечном значении интервал сходимости степенного ряда является ограниченным, - при значениях, т.е. внутри этого интервала, соответствующий ряд сходится, а при, т.е. вне интервала сходимости, ряд расходится.
На концах интервала сходимости степенной ряд может сходиться, а может и расходиться. Уточнение этого вопроса связано с исследованием сходимости числовых рядов, в которые обращается заданный степенной ряд при и при.
Степенным рядом также называется функциональный ряд вида
Этот ряд сходится при значениях , удовлетворяющих неравенству.