- •Министерство образования и науки российской федерации
- •Дифференциальные уравнения первого порядка
- •Уравнения с разделёнными и разделяющимися переменными
- •Однородные уравнения первого порядка
- •Линейные уравнения первого порядка
- •Уравнение в полных дифференциалах
- •Интегрирующий множитель
- •Дифференциальные уравнения высших порядков
- •Уравнения вида
- •Уравнения второго порядка, приводящиеся к уравнениям первого порядка
- •Линейные однородные уравнения. Определения и общие свойства
- •Линейные однородные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами
- •Линейные однородные уравнения го порядка с постоянными коэффициентами
- •Неоднородные линейные уравнения второго порядка
- •Неоднородные линейные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами
- •Неоднородные линейные уравнения высших порядков
- •Системы обыкновенных дифференциальных уравнений
- •Системы линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами
- •Р я д ы Числовые ряды Числовой ряд. Сумма ряда. Необходимый признак сходимости ряда
- •Достаточные признаки сходимости рядов с положительными членами
- •Знакопеременные ряды
- •Функциональные ряды
- •Ряды Тейлора и Маклорена
- •Ряды Фурье
- •Ряды Фурье для четных и нечетных функций
- •Ряд Фурье для функции с периодом
- •К о м б и н а т о р и к а
- •Общие правила комбинаторики
- •Соединения в комбинаторике
- •Размещения без повторений
- •Перестановки без повторений
- •Сочетания без повторений
- •Размещения с повторениями
- •11 12 13 14 15 16 17 19
- •Перестановки с повторениями
- •Т е о р и я в е р о я т н о с т е й Случайные события Основные понятия теории вероятностей
- •Основные теоремы теории вероятностей Теорема сложения вероятностей несовместных событий
- •Зависимые и независимые события. Условная вероятность
- •Теорема умножения вероятностей
- •Теорема сложения вероятностей совместных событий
- •Вероятность появления хотя бы одного события
- •. Формула полной вероятности
- •Формула Бейеса
- •Повторение испытаний
- •Формула Бернулли
- •Локальная теорема Лапласа
- •. Формула Пуассона
- •Интегральная теорема Лапласа
- •Случайные величины Случайная величина. Виды случайных величин
- •Закон распределения вероятностей дискретной случайной величины
- •Числовые характеристики дискретных случайных величин
- •Математическое ожидание дискретной случайной величины
- •Дисперсия дискретной случайной величины
- •Плотность распределения вероятностей непрерывной случайной величины
- •Числовые характеристики непрерывных случайных величин
- •Законы распределений
- •Равномерное распределение
- •Нормальное распределение
- •. Правило трёх сигм
- •Показательное распределение
- •Функция надёжности
- •Элементы математической статистики Основные сведения из математической статистики
- •Статистическое распределение выборки. Полигон и гистограмма
- •1 4 6
- •10 15 25
- •Статистические оценки параметров распределения
- •Оценка генеральной дисперсии по исправленной выборочной
- •Точность оценки, доверительная вероятность (надёжность). Доверительный интервал
- •Методы расчёта сводных характеристик выборки
- •Сведение первоначальных вариант к равноотстоящим
- •Оценка отклонения теоретического и эмпирического распределений от нормального. Асимметрия и эксцесс
- •Элементы теории корреляции
- •. (1)
- •(4) . (5) Корреляционная таблица
- •Отыскание параметров выборочного уравнения прямой линии регрессии по сгруппированным данным
- •Методика вычисления выборочного коэффициента корреляции
- •. Статистическая проверка статистических гипотез
- •Линейное программирование Задача линейного программирования
- •Построение математической модели
- •Графическое решение задачи линейного программирования
- •Симплексный метод решения задачи линейного программирования
- •Решение задачи 1 симплексным методом
- •Искусственное начальное решение. Метод больших штрафов.
- •Особые случаи применения симплекс-метода
- •1.7.2 Бесконечное множество решений
- •1.7.4 Неограниченные решения
- •1.7.5 Промежуточное вырожденное решение
- •Задача о назначениях
- •4 Изменение запаса ресурса продукта а 7
- •1 Изменение единицы стоимости продукта а 4
- •Заключение
Теорема умножения вероятностей
Теорема. Вероятность совместного наступления двух событий (АВ) равна произведению вероятности одного из этих событий на условную вероятность второго, вычисленную в предположении, что первое событие наступило, т.е. .
Доказательство. Пусть наступлению события А благоприятствуют исходов из равновозможных, не совместных и единственно возможных. Тогда безусловная вероятность события А будет равна
.
Пусть далее из исходов, при которых наступает событие А, наступлению события В благоприятствуютисходов (). Тогда условная вероятность события В, вычисленная в предположении, что произошло событие А, будет равна
.
Вычислим теперь вероятность наступления событий и А, и В. Совместное наступление событий и А, и В может иметь место только в случаях изравновозможных. Следовательно,
.
Разделив и умножив эту дробь на , получим
.
Заметим, что .
Вероятность совместного наступления нескольких взаимозависимых событий (АВС…LК) равна произведению вероятности первого события на условную вероятность второго в предположении, что первое наступило, на условную вероятность третьего в предположении, что первые два наступили, и т.д., т.е.
Теорема. Вероятность совместного появления двух независимых событий равна произведению вероятностей этих событий, т.е. .
Доказательство. Из доказанной теоремы следует . Так как события А и В независимы, то . Следовательно,.
Вероятность совместного появления нескольких независимых событий А, В, С,…,К равна произведению вероятностей этих событий, т.е.
.
Теорема сложения вероятностей совместных событий
Теорема. Вероятность появления хотя бы одного из двух совместных событий равна сумме вероятностей этих событий без вероятности их совместного появления:
Доказательство. Поскольку события А и В, по условию, совместны, то событие (А+В) наступит, если наступит одно из следующих трёх несовместных событий: , или АВ. По теореме сложения вероятностей несовместных событий имеем:
(1)
Событие А произойдёт, если наступит одно из двух несовместных событий: или АВ. По теореме сложения вероятностей несовместных событий получим:
, откуда
(2)
Аналогично имеем , откуда
. (3)
Подставив (2) и (3) в (1), получим .
Объединяя доказанные теоремы, имеем:
Вероятность появления хотя бы одного события
Теорема. Вероятность появления хотя бы одного из событий А1, А2, … , , независимых в совокупности, равна разности между единицей и произведением вероятностей противоположных событий, , … ,, т.е..
Доказательство. Обозначим через А событие, состоящее в появлении хотя бы одного из событий А1, А2, … , . События А и …(ни одно из событий не наступило) противоположны, значит, сумма их вероятностей равна единице:…) =1. Отсюда…) =) …p() =.
Замечание. Если события ,, … ,имеют одинаковую вероятность, равную
то вероятность появления хотя бы одного из этих событий
. Формула полной вероятности
Пусть событие А может наступить при условии появления одного из несовместных событий , которые образуют полную группу. Пусть известны вероятности этих событий и условные вероятностисобытия А. Требуется найти вероятность события А. На этот вопрос отвечает следующая теорема.
Теорема. Вероятность события А, которое может наступить лишь при условии появления одного из несовместных событий , образующих полную группу, равна сумме произведений вероятностей каждого из этих событий на соответствующую условную вероятность события А:
Доказательство. По условию теоремы, событие А может наступить, если наступит одно из несовместных событий , т.е. появление события А означает осуществление одного, безразлично какого, из несовместных событий . По теореме сложения=).
Эту формулу называют «формулой полной вероятности».