Ряды Фурье для четных и нечетных функций

Из определения четной и нечетной функции следует, что если четная функция, то, если женечетная функция, то(доказать самостоятельно).

Если в ряд Фурье разлагается четная функция, то произведение есть функция четная, анечетная и, следовательно,

(28)

т.е. ряд Фурье четной функции содержит «только косинусы».

Если в ряд Фурье разлагается нечетная функция, то произведение есть функция нечетная, ачетная и, следовательно,

(29)

т.е. ряд Фурье нечетной функции содержит «только синусы».

Ряд Фурье для функции с периодом

Пусть есть периодическая функция с, вообще говоря, отличным от. Разложим ее в ряд Фурье. Сделаем замену переменной по формуле. Тогда функциябудет периодической функцией отс. Ее можно разложить в ряд Фурье на:

, (30)

где

(31)

Возвратимся теперь к старой переменной :. Тогда будем иметь:

(32)

Формула (21) примет вид

, (33)

где коэффициенты вычисляются по формула (32). Это и есть ряд Фурье для периодической функции с периодом.

К о м б и н а т о р и к а

Представителям самых различных специальностей приходится решать задачи, в которых рассматриваются те или иные комбинации, составленные из букв, цифр и иных объектов. Начальнику цеха надо распределить несколько видов работ между имеющимися станками, заведующему учебной частью школы – составить расписание уроков и т.д.

Область математики, в которой изучаются вопросы о том, сколько различных комбинаций, подчинённых тем или иным условиям, можно составить из заданных объектов, называется комбинаторикой.

Комбинаторика возникла в XVI веке. В жизни привилегированных слоёв тогдашнего общества большое место занимали азартные игры. В карты и кости выигрывались и проигрывались золото и бриллианты, дворцы и имения, породистые кони и дорогие украшения. Понятно, что первоначально комбинаторные задачи касались в основном азартных игр – вопросов, сколькими способами можно выбросить данное число очков, бросая две или три кости, или сколькими способами можно получить двух королей в данной карточной игре. Одним из первых занялся подсчётом числа различных комбинаций при игре в кости итальянский математик Тарталья. Дальнейшее развитие комбинаторики связано с именами Якова Бернулли, Лейбница и Эйлера. За последние годы комбинаторика переживает период бурного развития, связанного с общим повышением интереса к проблемам дискретной математики. Комбинаторные методы используются для решения транспортных задач, в частности задач по составлению расписаний; для составления планов производства и реализации продукции.

Пусть имеется n предметов, отмеченных числами 1, 2, … , n. Из этих предметов выбираем один, записываем число, на нём изображённое, а сам предмет либо возвращаем назад ( в этом случае говорят о выборе с возвращением ), либо он убирается и больше не может быть выбран ( в этом случае говорят о выборе без возвращения ). Повторяем эту процедуру k раз.

Запись, полученная в результате всех действий, называется выборкой из n элементов по k.

Запись, полученная по схеме выбора с возвращением, называется выборкой с повторениями, а запись, полученная по схеме выбора без возвращений, называется выборкой без повторений.