Основные теоремы теории вероятностей Теорема сложения вероятностей несовместных событий

Теорема. Вероятность появления одного из двух несовместных событий, безразлично какого, равна сумме вероятностей этих событий, т.е.

Доказательство. Пусть общее число возможных элементарных исходов испытания; число элементарных исходов, благоприятствующих событию А;число элементарных исходов, благоприятствующих событию В. Тогда, число элементарных исходов, благоприятствующих наступлению либо события А, либо события В, по правилу суммы, равно. Следовательно,

Заметим, что:

1. Вероятность появления одного из нескольких попарно несовместных событий, безразлично какого, равна сумме вероятностей этих событий;

2. Сумма вероятностей событий, образующих полную группу, равна единице;

3. Сумма вероятностей противоположных событий равна единице.

Зависимые и независимые события. Условная вероятность

Два события А и В называются независимыми , если появление одного из них не влияет на вероятность наступления другого. В противном случае события называются зависимыми. Например, появление герба при первом бросании монеты (событие А) не влияет на вероятность появления герба при втором бросании (событие В).

Пусть имеется урна с 10 белыми и 5 чёрными шарами, отличающимися только цветом. Допустим, что производится последовательно два извлечения шара. Обозначим через А появление белого шара при первом извлечении и через В появление белого шара при втором извлечении. Если вынутый шар при первом извлечении снова возвращён в урну, то события А и В будут независимыми. В этом случае вероятность события В не зависит от того, имеет или не имеет место событие А, и составляет .

Пусть теперь при извлечении шаров из урны первый вынутый шар не возвращается в урну. Тогда вероятность появления события В будет зависеть от того, появилось при первом извлечении событие А, или нет (события зависимые). А именно, если при первом извлечении был вынут белый шар, то Если же при первом извлечении был вынут чёрный шар, тоТаким образом вероятность события В определяется от дополнительного условия появления или непоявления события А.

Определение. Вероятность события В, вычисленная в предположении, что имеет место событие А, называется условной вероятностью и обозначается Вероятность события В, вычисленная без учёта появления или непоявления события А, называетсябезусловной вероятностью.

При определении условных вероятностей методом непосредственного подсчёта име-

ются некоторые особенности. Предположим, что нужно определить . Пусть средиравновозможных исходов событию А благоприятствуютисходов, при некоторых из них пусть появляется и событие В. Допустим, что событие В появляется приисходах из. Так как нас интересует вероятность события В при дополнительном условии, что событие А имеет место, то равновозможными исходами для события В нужно считать не всеравновозможных исходов, а те из них, при которых наступает событие А. Следовательно. Таким образом, условная вероятность события В при условии наступления события А равна отношению числа исходов, при которых наступает совместно и А и В, к числу исходов, при которых наступает событие А.