- •Министерство образования и науки российской федерации
- •Дифференциальные уравнения первого порядка
- •Уравнения с разделёнными и разделяющимися переменными
- •Однородные уравнения первого порядка
- •Линейные уравнения первого порядка
- •Уравнение в полных дифференциалах
- •Интегрирующий множитель
- •Дифференциальные уравнения высших порядков
- •Уравнения вида
- •Уравнения второго порядка, приводящиеся к уравнениям первого порядка
- •Линейные однородные уравнения. Определения и общие свойства
- •Линейные однородные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами
- •Линейные однородные уравнения го порядка с постоянными коэффициентами
- •Неоднородные линейные уравнения второго порядка
- •Неоднородные линейные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами
- •Неоднородные линейные уравнения высших порядков
- •Системы обыкновенных дифференциальных уравнений
- •Системы линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами
- •Р я д ы Числовые ряды Числовой ряд. Сумма ряда. Необходимый признак сходимости ряда
- •Достаточные признаки сходимости рядов с положительными членами
- •Знакопеременные ряды
- •Функциональные ряды
- •Ряды Тейлора и Маклорена
- •Ряды Фурье
- •Ряды Фурье для четных и нечетных функций
- •Ряд Фурье для функции с периодом
- •К о м б и н а т о р и к а
- •Общие правила комбинаторики
- •Соединения в комбинаторике
- •Размещения без повторений
- •Перестановки без повторений
- •Сочетания без повторений
- •Размещения с повторениями
- •11 12 13 14 15 16 17 19
- •Перестановки с повторениями
- •Т е о р и я в е р о я т н о с т е й Случайные события Основные понятия теории вероятностей
- •Основные теоремы теории вероятностей Теорема сложения вероятностей несовместных событий
- •Зависимые и независимые события. Условная вероятность
- •Теорема умножения вероятностей
- •Теорема сложения вероятностей совместных событий
- •Вероятность появления хотя бы одного события
- •. Формула полной вероятности
- •Формула Бейеса
- •Повторение испытаний
- •Формула Бернулли
- •Локальная теорема Лапласа
- •. Формула Пуассона
- •Интегральная теорема Лапласа
- •Случайные величины Случайная величина. Виды случайных величин
- •Закон распределения вероятностей дискретной случайной величины
- •Числовые характеристики дискретных случайных величин
- •Математическое ожидание дискретной случайной величины
- •Дисперсия дискретной случайной величины
- •Плотность распределения вероятностей непрерывной случайной величины
- •Числовые характеристики непрерывных случайных величин
- •Законы распределений
- •Равномерное распределение
- •Нормальное распределение
- •. Правило трёх сигм
- •Показательное распределение
- •Функция надёжности
- •Элементы математической статистики Основные сведения из математической статистики
- •Статистическое распределение выборки. Полигон и гистограмма
- •1 4 6
- •10 15 25
- •Статистические оценки параметров распределения
- •Оценка генеральной дисперсии по исправленной выборочной
- •Точность оценки, доверительная вероятность (надёжность). Доверительный интервал
- •Методы расчёта сводных характеристик выборки
- •Сведение первоначальных вариант к равноотстоящим
- •Оценка отклонения теоретического и эмпирического распределений от нормального. Асимметрия и эксцесс
- •Элементы теории корреляции
- •. (1)
- •(4) . (5) Корреляционная таблица
- •Отыскание параметров выборочного уравнения прямой линии регрессии по сгруппированным данным
- •Методика вычисления выборочного коэффициента корреляции
- •. Статистическая проверка статистических гипотез
- •Линейное программирование Задача линейного программирования
- •Построение математической модели
- •Графическое решение задачи линейного программирования
- •Симплексный метод решения задачи линейного программирования
- •Решение задачи 1 симплексным методом
- •Искусственное начальное решение. Метод больших штрафов.
- •Особые случаи применения симплекс-метода
- •1.7.2 Бесконечное множество решений
- •1.7.4 Неограниченные решения
- •1.7.5 Промежуточное вырожденное решение
- •Задача о назначениях
- •4 Изменение запаса ресурса продукта а 7
- •1 Изменение единицы стоимости продукта а 4
- •Заключение
Системы обыкновенных дифференциальных уравнений
Рассмотрим систему уравнений первого порядка
( 1 )
гдеискомые функции,аргумент.
Такая система, когда в левой части уравнений стоят производные первого порядка, а правые части не содержат производных, называется нормальной.
Решить систему – значит определить функции , удовлетворяющие системе уравнений (1) и данным начальным условиям:
( 2 )
Интегрирование системы (1) производится следующим образом.
Дифференцируем по первое из уравнений (1):
Заменяя производные их выражениямииз уравнений (1), будем иметь уравнение
.
Дифференцируя полученное уравнение и поступая аналогично предыдущему, получим:
.
Продолжая далее, таким же образом получим, наконец, уравнение
.
Итак, получим следующую систему:
( 3 )
Из первых уравнений определимвыразив их черези производные:
( 4 )
Подставляя эти выражения в последнее из уравнений (3), получим уравнение порядка для определения:
. ( 5 )
Решая уравнение (5), определим :
( 6 )
Дифференцируя выражение (6) раз, найдём производные
как функции от . Подставляя эти функции в (4), получим:
( 7 )
Системы линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами
Пусть дана система дифференциальных уравнений
( 1 )
где постоянные,аргумент,искомые функции,. Система (1) называетсясистемой линейных однородных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами.
Эту систему можно решать путём сведения к одному уравнению го порядка, которое в данном случае будет линейным. Но можно решать систему (1) и другим методом, не сводя к уравнениюго порядка. Этот метод даёт возможность более наглядно анализировать характер решений.
Будем искать решение системы в виде:
( 2 )
Надо определить постоянные итак, чтобы функции удовлетворяли системе уравнений (1), т.е.
Сократив на , перенеся все члены в одну сторону и собрав коэффициенты при, получим систему уравнений
( 3 )
Выберем итакими, чтобы удовлетворялась система (3). Эта система есть система линейных однородных алгебраических уравнений относительно . Из курса линейной алгебры следует, что она будет иметь нетривиальное решение, если
( 4 )
Это уравнение называется характеристическим уравнениемдля системы (1), его корни называются корнямихарактеристического уравнения.
В качестве примера рассмотрим случай, когда корни характеристического уравнения - действительные и различные.
Для каждого корня напишем систему уравнений (3) и определим коэффициенты
.
Можно показать, что один из них произвольный, его можно считать равным единице. Таким образом, получаем:
для корня решение системы (1)
для корня решение системы (1)
для корня решение системы (1)
.
Путём непосредственной подстановки в уравнения можно убедиться, что система функций
( 5 )
где произвольные постоянные, тоже является решением системы дифференциальных уравнений (1). Это есть общее решение системы (1)
Р я д ы Числовые ряды Числовой ряд. Сумма ряда. Необходимый признак сходимости ряда
Числовым рядом называется выражение вида
(5),
где члены ряда,общий член ряда (5).
Сумма первыхчленов ряда (5) называетсячастичной суммой этого ряда.
Суммой ряда называется предел частичной суммыэтого ряда при условии, чтопроизвольным способом неограниченно возрастает:
(6)
Числовой ряд, имеющий сумму в смысле этого определения, называется сходящимся, ряд же, не имеющий суммы, называется расходящимся.
Отметим некоторые свойства сходящихся рядов:
Если в сходящемся ряде заменить конечное число членов новыми числами, или отбросить или приписать конечное число членов ряда, или совершить перестановку любого конечного числа членов ряда, то получим новый сходящийся ряд.
Если все члены сходящегося ряда, сумма которого равна , умножить на некоторое число, то получится новый сходящийся ряд, сумма которого равна.
Сумма и разность двух сходящихся рядов есть новый сходящийся ряд. Его сумма равна соответственно сумме или разности сумм этих двух рядов.
Необходимый признак сходимости ряда. Теорема. Если ряд сходится, то его ый член стремится к нулю при неограниченном возрастании, т.е..
Доказательство. Пусть ряд (5) сходится, т.е. , тогда имеет место также и равенство. Вычитая почленно из первого равенства второе, получимили. Но, следовательно.
Следствие. Если , то ряд расходится.
Рассмотренный признак является только необходимым, но не является достаточным, т.е. из того, что , еще не следует, что ряд сходится, - ряд может и расходиться. Так, например, так называемыйгармонический ряд расходится, хотя . Покажем это. Пусть,, поэтому, или. Если бы гармонический ряд сходился, то по определению, а тогда последовательностьимела бы тот же предел, а в предшествующем неравенстве был бы возможен предельный переход, который привел бы к соотношению, что нелепо.