- •Министерство образования и науки российской федерации
- •Дифференциальные уравнения первого порядка
- •Уравнения с разделёнными и разделяющимися переменными
- •Однородные уравнения первого порядка
- •Линейные уравнения первого порядка
- •Уравнение в полных дифференциалах
- •Интегрирующий множитель
- •Дифференциальные уравнения высших порядков
- •Уравнения вида
- •Уравнения второго порядка, приводящиеся к уравнениям первого порядка
- •Линейные однородные уравнения. Определения и общие свойства
- •Линейные однородные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами
- •Линейные однородные уравнения го порядка с постоянными коэффициентами
- •Неоднородные линейные уравнения второго порядка
- •Неоднородные линейные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами
- •Неоднородные линейные уравнения высших порядков
- •Системы обыкновенных дифференциальных уравнений
- •Системы линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами
- •Р я д ы Числовые ряды Числовой ряд. Сумма ряда. Необходимый признак сходимости ряда
- •Достаточные признаки сходимости рядов с положительными членами
- •Знакопеременные ряды
- •Функциональные ряды
- •Ряды Тейлора и Маклорена
- •Ряды Фурье
- •Ряды Фурье для четных и нечетных функций
- •Ряд Фурье для функции с периодом
- •К о м б и н а т о р и к а
- •Общие правила комбинаторики
- •Соединения в комбинаторике
- •Размещения без повторений
- •Перестановки без повторений
- •Сочетания без повторений
- •Размещения с повторениями
- •11 12 13 14 15 16 17 19
- •Перестановки с повторениями
- •Т е о р и я в е р о я т н о с т е й Случайные события Основные понятия теории вероятностей
- •Основные теоремы теории вероятностей Теорема сложения вероятностей несовместных событий
- •Зависимые и независимые события. Условная вероятность
- •Теорема умножения вероятностей
- •Теорема сложения вероятностей совместных событий
- •Вероятность появления хотя бы одного события
- •. Формула полной вероятности
- •Формула Бейеса
- •Повторение испытаний
- •Формула Бернулли
- •Локальная теорема Лапласа
- •. Формула Пуассона
- •Интегральная теорема Лапласа
- •Случайные величины Случайная величина. Виды случайных величин
- •Закон распределения вероятностей дискретной случайной величины
- •Числовые характеристики дискретных случайных величин
- •Математическое ожидание дискретной случайной величины
- •Дисперсия дискретной случайной величины
- •Плотность распределения вероятностей непрерывной случайной величины
- •Числовые характеристики непрерывных случайных величин
- •Законы распределений
- •Равномерное распределение
- •Нормальное распределение
- •. Правило трёх сигм
- •Показательное распределение
- •Функция надёжности
- •Элементы математической статистики Основные сведения из математической статистики
- •Статистическое распределение выборки. Полигон и гистограмма
- •1 4 6
- •10 15 25
- •Статистические оценки параметров распределения
- •Оценка генеральной дисперсии по исправленной выборочной
- •Точность оценки, доверительная вероятность (надёжность). Доверительный интервал
- •Методы расчёта сводных характеристик выборки
- •Сведение первоначальных вариант к равноотстоящим
- •Оценка отклонения теоретического и эмпирического распределений от нормального. Асимметрия и эксцесс
- •Элементы теории корреляции
- •. (1)
- •(4) . (5) Корреляционная таблица
- •Отыскание параметров выборочного уравнения прямой линии регрессии по сгруппированным данным
- •Методика вычисления выборочного коэффициента корреляции
- •. Статистическая проверка статистических гипотез
- •Линейное программирование Задача линейного программирования
- •Построение математической модели
- •Графическое решение задачи линейного программирования
- •Симплексный метод решения задачи линейного программирования
- •Решение задачи 1 симплексным методом
- •Искусственное начальное решение. Метод больших штрафов.
- •Особые случаи применения симплекс-метода
- •1.7.2 Бесконечное множество решений
- •1.7.4 Неограниченные решения
- •1.7.5 Промежуточное вырожденное решение
- •Задача о назначениях
- •4 Изменение запаса ресурса продукта а 7
- •1 Изменение единицы стоимости продукта а 4
- •Заключение
Методы расчёта сводных характеристик выборки
Условные варианты
Предположим, что варианты выборки расположены в возрастающем порядке, т.е. в виде вариационного ряда.
Равноотстоящиминазываются варианты, которые образуют арифметическую прогрессию с разностью.
Условными называются варианты, определяемые равенством
,
где С – ложный нуль (новое начало отсчёта); - шаг, т.е. разность между любыми двумя соседними первоначальными вариантами (новая единица масштаба).
Покажем, что если вариационный ряд состоит из равноотстоящих вариант с шагом то условные варианты есть целые числа. Действительно, выберем в качестве ложного нуля произвольную варианту, например. Тогда, т.к.- целые числа, то их разность- также целое число.
Начальные и центральные теоретические моменты
Начальным теоретическим моментом порядка случайной величиныназывается математическое ожидание величиныи обозначается:
Для непрерывной случайной величины
В частности, , . Пользуясь этими моментами, формулу для вычисления дисперсииможно записать так:.
Центральным теоретическим моментом порядка случайной величины называется математическое ожидание величиныи обозначается
.
Для непрерывной случайной величины .
В частности, .
Обычные, начальные и центральные эмпирические моменты
Для вычисления сводных характеристик выборки удобно пользоваться эмпирическими моментами, определения которых аналогичны определениям соответствующих теоретических моментов.
Обычным эмпирическим моментом порядка называется среднее значениеk-ых степеней разностейи обозначается:
,
где – наблюдаемая варианта,- ложный нуль,- частота варианты,.
Начальным эмпирическим моментом порядка называется обычный момент порядка прии обозначается:
.
В частности, .
Центральным эмпирическим моментом порядка называется обычный момент порядка прии обозначается:
.
В частности, .
Легко выразить центральные моменты через обычные, например,
2.
Условные эмпирические моменты
Вычисление центральных моментов требует довольно громоздких вычислений. Чтобы упростить расчёты, заменяют первоначальные варианты условными.
Условным эмпирическим моментом порядка , называется начальный момент порядка, вычисленный для условных вариант:
В частности , отсюда
.
Выразим обычные моменты через условные: , откуда
Найдя же обычные моменты, можно найти центральные моменты: .
Метод произведений для вычисления выборочных средней и дисперсии
Метод произведений даёт удобный способ вычисления условных моментов различных порядков вариационного ряда с равноотстоящими вариантами. Зная условные моменты, можно найти начальные и центральные эмпирические моменты. Методом произведений удобно вычислять выборочную среднюю и выборочную дисперсию. Покажем применение этого метода на конкретном примере.
Пример 3. Найти методом произведений выборочную среднюю и выборочную дисперсию по заданному распределению выборки объёма
12 14 16 18 20 22
5 15 50 16 10 4
Составим расчётную таблицу
12 |
5 |
-2 |
-10 |
20 |
5 |
14 |
15 |
-1 |
-15 |
15 |
0 |
16 |
50 |
0 |
0 |
0 |
50 |
18 |
16 |
1 |
16 |
16 |
64 |
20 |
10 |
2 |
20 |
40 |
90 |
22 |
4 |
3 |
12 |
36 |
64 |
|
|
|
|
|
|
|
|
Для контроля вычислений пользуются тождеством =+2+.
К о н т р о л ь :
+2+=127+223+100=273
Совпадение контрольных сумм свидетельствует о правильности вычислений.
Вычислим условные моменты первого и второго порядков:
.
Найдём шаг: . В нашем случае ложный нуль.
Вычислим выборочные среднюю и дисперсию: