- •1. Статика абсолютно твердого тіла
- •1.1. Основні визначення, поняття і аксіоми статики. Предмет статики
- •1.2. Класифікація систем сил
- •1.3. Аксіоми статики
- •Модуль рівнодійної
- •1.4. Проекція сили на вісь, площину
- •1.5. Розклад сили на координатні складові
- •2. В'язі та їх реакції
- •3. Система збіжНихСил
- •3.1. Приведення до рівнодійної. Правило многокутника сил
- •3.2. Умови рівноваги системи збіжних сил
- •3.3. Теорема про три непаралельні сили
- •4. Момент сили відносно точки та осі. Складання паралельних сил. Пара сил, теореми про пари
- •4.1. Момент сили відносно точки
- •4.2. Момент сили відносно осі
- •4.3. Алгебраїчний момент сили відносно точки
- •4.4. Складання паралельних сил
- •4.4.1. Складання двох сил, напрямлених в один бік
- •4.4.2. Складання двох сил, напрямлених в різні боки
- •4.5. Пара сил. Момент пари. Теореми про пари сил
- •4.5.1. Визначення пари сил
- •4.5.2. Умови рівноваги системи пар сил
- •5. Довільна система сил у просторі й площині. Приведення до заданого центра (теорема пуансо)
- •5.1. Лема про паралельне перенесення сили
- •5.2. Приведення довільної системи сил у просторі до заданого центра. Теорема Пуансо (Основна теорема статики)
- •5.3. Властивості головного вектора, головного момента і результуючої приєднаної пари системи сил. Статичні інваріанти
- •5.4. Окремі випадки приведення просторової системи сил
- •5.5. Довільна система сил у площині
- •5.6. Теорема Варіньона про момент рівнодійної
- •5.7. Приклади розв’язання задач приведення
- •6. Умови рівноваги системи сил. Окремі випадки рівноваги
- •6.1. Рівновага довільної системи сил у просторі
- •6.2. Окремі випадки рівноваги системи сил
- •6.2.1. Рівновага довільної системи паралельних сил у просторі
- •6.2.2. Умови рівноваги довільної плоскої системи сил
- •6.3. Приклади розв’язання задач рівноваги
- •6.4. Методика розв’язання задач на рівновагу системи тіл
- •7. Тертя ковзання, кочення
- •7.1. Сили тертя ковзання. Закон Амонтона-Кулона
- •7.2. Кут тертя. Конус тертя
- •7.3. Тертя кочення. Коефіцієнт тертя кочення
- •7.4. Приклади розв’язання задач рівноваги з урахуванням сил тертя
- •Розв’язання
- •8. Розрахунок плоскої ферми
- •8.1. Основні визначення і припущення
- •8.2. Порядок розрахунку простої ферми
- •9. Центр паралельних сил і центр ваги
- •9.1. Центр паралельних сил
- •9.2. Центр ваги твердого тіла
- •9.2.1. Центр ваги однорідного твердого тіла
- •9.2.2. Центр ваги однорідної пластини
- •9 Lk.2.3. Центр ваги однорідного стержня
- •9.3. Способи визначення координат центра ваги
- •2. Спосіб розбиття.
- •9.4. Центри ваги простіших фігур
- •9.5. Стійкість твердого тіла при його перекиданні
- •ЗаПитання для самоконтролю
- •Розділ іі. Кінематика
- •§ 1. Швидкість точки
- •Контрольні запитання
- •§2. Прискорення точки
- •Контрольні запитання
- •§3. Поступальний рух твердого тіла
- •Контрольні запитання
- •§4. Обертальний рух твердого тіла навколо нерухомої осі
- •Контрольні запитання
- •§ 5. Плоский рух твердого тіла
- •Контрольні запитання
- •§6. Швидкість та прискорення точки в складному русі
- •Контрольні запитання
- •§ 1. Задачі динаміки
- •Контрольні запитання
- •§ 2. Відносний рух точки. Сили інерції
- •Контрольні запитання
- •§3. Невільний рух точки
- •§ 4. Теорема про рух центру мас механічної системи
- •Контрольні запитання
- •§ 5. Теорема про зміну та збереження імпульсу механічної системи
- •Контрольні запитання
- •§ 6.. Теорема про зміну та збереження моменту імпульсу механічної системи
- •Моменти інерції однорідних тіл
- •Контрольні запитання
- •§ 7. Теорема про зміну кінетичної енергії механічної системи
- •Контрольні запитання
- •§ 1. Рух судна в області дії течії
- •§ 2. Задача розходження суден
- •Розглядаємо абсолютний рух суден
- •§ 3. Динаміка прямолінійного руху судна
- •§ 4. Диференціальні рівняння рухів твердого тіла
- •Контрольні запитання
- •§ 5. Остійність судна
- •§ 6. Бортові та кільові коливання судна, як коливання фізичного маятника
- •Контрольні запитання
- •§ 7. Гіроскоп та гіроскопічні сили
- •Прецесія гіроскопа
- •Гіроскопічні сили
- •Контрольні запитання
- •Список використаної літератури Основна
- •Додаткова
§ 6. Бортові та кільові коливання судна, як коливання фізичного маятника
Фізичний маятник – це будь-яке тіло, що підвішене у точці, яка не співпадає з центром його маси, та має можливість здійснювати коливання навколо цієї точки.
Розглянемо таке тіло, яке підвішене в точці та відхилене від положення рівноваги на кут (рис. 6.1). В цьому випадку сила тяжіння , яка прикладена до центру маси тіла (точка ), створює момент сили відносно точки підвішування
. (6.1)
Цей момент намагається повернути тіло навколо точки підвішування до положення рівноваги (у протилежну сторону від відхилення). Таким чином, основне рівняння обертального руху може бути записано у вигляді
, (6.2)
де – момент інерції тіла відносно точки підвішування.
Отримали нелінійне диференціальне рівняння, розв’язок якого є окремою математичною задачею. Проте для малих кутів відхилення рівняння (6.2) стає лінійним і зводиться до відомого рівняння гармонічних коливань
, (6.3)
в якому
, (6.4)
- частота коливань, з якою зв’язаний період коливань
. (6.5)
В останній формулі
(6.6)
– так звана зведена довжина фізичного маятника. Остання дорівнює довжині математичного маятника з тим самим періодом коливань.
Таким чином, щоб знайти період (чи частоту) малих коливань фізичного маятника, треба знати масу тіла , відстаньміж точкою підвішування та центром маси тіла і момент інерції тілавідносно точки закріплення.
Розглянемо коливання судна, як коливання фізичного маятника. Як зазначено в попередньому параграфі судно можна нахиляти як в поперечній, так і в продольній площинах (рис.5.1 та 5.2), тому існує 2 головних метацентра: поперечний (який відіграє основну роль в бортових коливаннях судна) та поздовжній метацентр(який відіграє основну роль в кільових коливаннях судна).
Тоді, наприклад, для бортових коливань судна малої амплітуду маємо наступне рівняння
, (4.1)
де – - моменти інерції судна відносно поздовжньої осі, що проходять через його центр ваги та– висота поперечного метацентра над центром ваги (рис.5.1). Розв’язок цього рівняння має вид:
, (4.2)
де частота коливань
, (4.3)
або період бортових коливань
, (4.4)
Формула, аналогічна до (4.1), буде і для кільових коливань, лише з заміною моменту інерції на– момент інерції судна відносно поперечної осі, що проходять через його центр ваги, та висоти поперечного метацентруна- висоту поздовжнього метацентру над центром ваги (рис.5.2). Тому для кільових коливань судна отримуємо наступне рівняння:
(4.5)
Звідки для періоду кільових коливань судна маємо
. (4.6)
Звернемо увагу, що на практиці визначають період власних бортових коливань судна на тихій воді шляхом запису загасаючих коливань. Знаючи період цих коливань, розраховують метацентричну висотуза допомогою “капітанської” формули:
, (4.7)
де та– розмірні коефіцієнти,- ширина судна,- розподіл ваги відносно вертикальної площини симетрії. Отже величиназалежить від розподілу ваги по судну, чим більше вантажів біля центру, тим менше значення, а якщо вантажі біля бортів, то1.
Зауважимо, що ця емпірична „капітанська” формула є наслідком отриманого виразу для періоду бортових коливань (4.3). З цієї формули отримуємо:
(4.8)
Оскільки момент інерції судна відносно поздовжньої осі, що проходять через його центр ваги, пропорціональний вазі судна та квадрата його поперечного розміру, тобто
, (4.9)
тоді з рівняння (4.6) отримуємо:
(4.10)
що співпадає з „капітанською” формулою (4.5) та дозволяє з’ясувати значення коефіцієнта .
Якщо врахувати силу опору лінійну по кутовій швидкості, то отримаємо наступне диференціальне рівняння бортових коливань:
, (4.11)
розв’язок якого має вид:
, (4.12)
тут ,, авизначається формулою (4.3). Отже, сили опору зумовлюють загасання коливань та викликають зменшення частоти коливань.
В реальній ситуації хитавицю судна викликає дія хвиль, які змінюються за гармонічним законом:
, (4.13)
Що викликає діє моменту сили, що змінюється за таким самим законом
. (4.14)
Тоді в наближенні, що ширина судна значно менша, ніж довжина хвилі отримуємо:
(4.15)
Розв’язок цього рівняння для бортових вимушених коливань дає відомий результат
(4.16)
- коли кожному значенню відповідає певне значення амплітудивимушених лінійних коливань, яка залежить від частоти
, (4.17)
а графік залежності амплітуди вимущених коливань від частоти збуджуючої сили зображений на рис.6.2.