Розділ іі. Кінематика

Кінематика вивчає переміщення тіл в просторі з плином часу без з’ясування причин, які викликають рух. В кінематиці рух тіл вивчається з чисто геометричної точки зору. Якщо в задачі кінематики можна знехтувати розмірами та формою тіла, то тіло замінюють точкою. Траєкторією називається лінія, яку описує точка в процесі руху. До основних кінематичних характеристик відносяться: траєкторія, координати (положення), швидкість та прискорення точки і кутова швидкість та кутове прискорення твердого тіла.

§ 1. Швидкість точки

Рух точки може бути заданий різними способами:

1) натуральний - цим способом зручно користуватись коли відома траєкторія руху точки. Положення рухомої точки в момент часу визначається дугової координати і законом руху

, (1.1)

де початок відліку (точку – рис. 1.1) та відомий додатній напрям відліку.

2) векторний – коли положення точки в просторі визначається радіус-вектором , проведеним з деякого нерухомого центра до даної точки (рис. 1.2). Під час руху точки її радіус-вектор змінює свій модуль і напрям

. (1.2)

3) координатний - полягає в тому, що положення точки задається набором координат. При розгляді руху в прямокутній декартовій системі координат (рис.1.3) вказаний спосіб зводиться до задання трьох координат , , точки як відомих функцій часу:

, , . (1.3)

Зв'язок векторного метода з декартовими координатами наступний

. (1.4)

4) в навігації, в основному, користуються цилін-дричною системою координат , , рис.1.3 на площині (полярною, координати ), але дещо зміненою. Замість азимута використовують курс (рис. 1.4), який вимірюють від „норду” (напряму на північ) і відлік кута ведуть за напрямом руху стрілки годинника. Якщо вісь сумістити з „нордом”, а вісь снрямувати горизонтально, то отримаємо зв’язок між координатами декартової та навігаційної систем:

, . (1.5)

Швидкістю точки в момент часу називається величина, яка характеризує зміну вектора з плином часу (рис. 1.5)

. (1.6)

Вектор швидкості точки в даний момент часу дорівнює першій похідній від радіус-вектора по часу і напрямлений по дотичній до траєкторії у відповідній точці у бік руху (рис. 1.5).

Коли рівняння руху точки задано в декартових координатах, то

. (1.7)

Отже, алгебраїчні проекції вектора швидкості на кожну з осей (рис. 1.6) дорівнюють похідним по часу від відповідної координати точки, яка рухається

, , . (1.8)

Модуль вектора швидкості обчислюють за формулою

. (1.9)

Коли рівняння руху точки заданонатуральним способом (рис. 1.6), то дугова координата є функцією часу, то радіус-вектор , тоді

, (1.10)

де

= (1.11)

- алгебраїчне значення миттєвої швидкості, а - одиничний вектор (орт), який направлений по дотичній до кривої в сторону зростання дугової координати (рис. 1.6, а, б) і не залежить від напряму руху точки.

Якщо , то точка рухається в напрямі зростання дугової координати і напрям швидкості співпадає з напрямом орта (рис. 1.6, а). При точка рухається в напрямі зменшення дугової координати і вектор швидкості протилежний до напряму орта (рис. 1.6, б).