§ 2. Задача розходження суден

Нехай два судна тарухаються в області, де відсутня течія та вітер. Їх курси та швидкості= 18°,= 16 вузлів та= 306°,= 17 вузлів залишаються незмінними. В заданий момент часу= 0 за допомогою радара, що знаходиться, наприклад, на судні, визначено пеленг= 62° судна(горизонтальний кут між північною частиною меридіана – нордомта напрямом на судно, виміряним за стрілкою годинника) та відстань до нього= 9,4 милі. Потрібно визначити найменшу можливу відстаньміж суднами та момент часу, коли це відбудеться. А у випадку необхідності для запобігання зіткнення прийняти необхідні запобіжні заходи.

В модельній задачі розглядаючи рух суден, будемо вважати їх точковими, тобто нехтувати розмірами кожного судна.

Розглядаємо абсолютний рух суден

Спочатку розв’яжемо задачу, розглядаючи рух кожного судна відносно води. В абсолютній (нерухомій відносно поверхні Землі) ситемі відліку введемо декартову систему координат. ЇЇ початок сумістимо з судном(рис.2.1) та направимо вісьгоризонтально, а вісьпо норду ().

Перш за все графічно визначимо схему розходженнясуден. По заданому пеленгуз точкипроводимо промінь та у вибраному масштабі (наприклад, 1 см = 1 миля) відкладаємо на ній величинуі знаходимо початкове положення судна(рис.1). З точокіпо заданим курсамта(відкладених від нордуза стрілкою годинника) проводимо промені та отримуємо траєкторії абсолютного руху суден. Оскільки траєкторії перетинаються, то потрібно розв’язувати задачу на розходження.

За відомими значеннями швидкості, визначаємо шлях, яке проходить кожне судно за = 6 хв. = 0.1 год= 12 хв. = 0.2 год. та= 18 хв. = 0.3 год. і на траєкторіях абсолютного руху судентапозначаємо відповідні положення суден через проміжки часу,та(рис.1). Вимірюємо відстані між суднами та пеленги суднау ці моменти часу і отримуємо:= 7,5 милі,= 5,8 милі та= 3,9 милі.= 59⁰ ,= 54⁰та= 44⁰. Оскільки пеленг судназменшується<, то в даній задачі суднопроходить перед судном(по носу судна). Якби зміна пеленгу була зворотною, то суднопроходило би перед судном(по носу судна).

Для визначення найкоротшої відстані при розходженні та моменту, коли воно відбудеться, розв’яжемо задачу, розглядаючи абсолютний рух кожного судна. Для введеної системи координат початкові умови (при ) дають:

,

(в милях),

а рівняння абсолютного руху кожного судна має вигляд

, (2.1)

(2.2)

де вектори ,тазадані своїми напрямами та чисельними значеннями.

З рівнянь (2.1) та (2.2) визначаємо координати суден тау заданий момент часу:

, (2.3)

, (2.4)

(2.5)

(2.6)

(всі віддалі в милях, а швидкості у вузлах 1вузол = 1миля/год0,514м/с).

З системи рівнянь (2.3) – (2.6) розраховуємо у довільний момент часу відстаньміж судномтаі пеленгсудназа формулами:

=, (2.7)

=, (2.8)

де

= - 18,69 (вуз.), (2.9)

= - 5,22 (вуз.), (2.10)

= 8,30 милі, (2.11)

= 4,41 милі. (2.12)

З отриманих формул у моменти часу ,тазнаходимо:

= 0,49,= 1,52,= 6,92,= 5,41,= 7,52,= 58,3⁰;

= 0,99,= 3,04,= 5,55,= 6,41,= 5,67,= 53,6⁰.

= 1,48,= 4,57,= 4,17,= 7,41,= 3,92,= 43,4⁰,

що співпадає з результатами, які ми отримали з рис.1

Використовуючи комп’ютерну графіку, розраховуємо відстань між суднами і будуємо залежність, яка зображена на рис.2.2. З графіка видно, що величина відстаніміж суднами змінюється не монотонно. Мінімум кривої дозволяє визначити найменшу відстань між суднами2 милі та момент часу0,47 год28 хв., коли це відбудеться.

Аналітично найменшу віддаль між судами знаходимо з умови рівності нулю похідної:, що згідно рівнянню (7) дає:

. (2.11)

Звідки визначаємо час , коли судна розійдуться на найменшій відстані

. (2.12)

Для визначення необхідно підставити значенняу вираз дляі тоді отримуємо:

(2.13)

З врахуванням даних задачі, визначаємо: = 0,45 год.27 хв.,= 2,0 милі.

Розглядаємо відносний руху суден

Аналіз розв’язку показує, що задача зводиться до визначення відносної віддалями між суднами, тобто визначальною є відносна швидкість суден. Тому розв’яжемо задачу, розглядаючи відносний рух суден.

Абсолютна швидкість будь-якої точки(відносно нерухомої системи відліку) при складному рухові визначається формулою

, (2.14)

де – відносна швидкість точкив рухомій системі та– переносна швидкість точки за рухонок руху системи. Звідки для швидкості відносного руху точкиотримуємо

. (2.15)

Введемо рухому систему відліку , а її центр у початковий момент часу сумістимо з судном. У наступні моменти часу центр цієї системибуде рухатися зі швидкістюпо траєкторії(рис.2.1) абсолютного руху судна. При цьому декартові вісі абсолютної та рухомої систем будуть залишатися паралельними (та). Тоді швидкість точкибуде відігравати роль переносної швидкості

. (2.16)

Отже, в системі суднобуде залишатися нерухомим, а суднобуде рухатися з відносною швидкістю, яку знаходимо з формули (2.15) з урахуванням (2.16)

. (2.17)

Спочатку розв’яжемо задачу графічно. За допомогою транспортира та лінійки будуємо початкове положення суден та. Оберемо зручний для швидкостей масштаб, наприклад, 1 см = 2 вузла та побудуємо вектори швидкостей судента(рис.3). Щоб графічно побудувати вектор відносної швидкостітреба до векторадодати вектор () (рис. 2.3).

Траєкторія руху суднаВ відносно нерухомого судна А лежить на векторі і визначаєлінію відносного руху. Положення цієї лінії свідчить про те, що в нашому випадку судно В пройде перед судном судна А (по носу).

Для того, щоб знайти найкоротшу відстань між суднами, треба з точки А опустити перпендикуляр на лінію відносного руху – так ми отримуємо точкуС. Вимірюємо мінімальну відстань між суднами d_кр = = 2,1 милі.

Щоб визначити час розходження, потрібно відстань (вимірювання дає ≈ 9,1 миль) поділити на швидкість відносного руху. Вимірюємо довжину вектора та знаходимо модуль відносної швидкості= 19,5 вузлів. Отже = 9,1/19,5 ≈ 0,47 годин 28 хв.

Щоб розв’язати задачу аналітично, запишемо вирази для векторів швидкостей суден. Оскільки декартові вісі рухомої та абсолютної систем лишаються паралельними, то:

=, (2.18)

=. (2.19)

Тоді для вектора відносної швидкості отримуємо

+ (2.20)

Зауважимо, що отримані раніше вирази (2.9) та (2.10) для величин тавизначають компоненти відносної швидкості. Після цього підрахуємо модуль відносної швидкості

= 19,4 (вуз.). (2.19)

Рівняння лінії відносного руху можна записати як рівняння прямої, що проходить через точку вздовж вектора, тому воно має вигляд

, (2.20)

де = 8,30 (милі) та= 4,41 (милі)та – тангенс кута нахилу лінії відносного руху до осі x, який знаходимо через компоненти вектора відносного руху

. (2.21)

Найкоротша відстань між суднами визначиться віддаллю точки А(0,0) від цієї прямої, тому

. (2.22)

Зауважимо, що формула (22) співпадає з формулою (13). Підставляючи дані, отримуємо

= 2,00 (милі).

Для знаходження моменту часу, коли судно буде в точці, потрібно віддальподілити на модуль відносної швидкості

. (2.23)

Величину розраховуємо їз прямокутного трикутника

= 9,18 (милі),

тоді

(годин)» 28 (хв.)

Таким чином усіма методами отримали близькі результати, які вказують, що швидкість відносного зближення суден = 19,4 вузла, вони розійдуться через » 28 хв. на найкоротшій відстані = 2,0 милі.

Зауважимо,що підхід, коли задача зведена до їх відносного руху дозволяє узагальнити задачу на випадок руху суден в області дії постійної течії, бо відносна швидкість в цьому випадку не зміниться, дійсно

. (2.24)