§3. Невільний рух точки

Коли на зміну механічного стану тіла не накладено жодних обмежень, то рух тіла вільний. Тіло називають невільним, коли на його переміщення накладені обмеження і воно не може рухатися довільно, а рухається по заданій траєкторії або поверхні. Обмеження, які не дозволяють тілу вільно рухатись, називаютьсяв’язями.Якщо тіло намагається переміщуватися в напрямі в’язі, і тим самим діє на неї, то з боку в’язі виникає протидія, яку називаютьреакцією в’язі.

Тіло будемо вважати матеріальною точкою.Коли точка за рахунок накладених на неї в’язів рухається по заданій траєкторії або поверхні, необхідно рівняння руху вільної точки доповнити силами, які враховують реакції в’язів. В таких випадках будемо розв’язувати задачу користуючисьаксіомою про в’язі:всяку невільну точку розглядаємо як вільну, відкинувши в’язі та замінивши їх дію реакціями. Тоді основний закон динаміки для невільної матеріальної точки буде мати вигляд:

, (3.1)

де – діючі на точку активні сили,– реакції в’язів.

Розглянемо рух точки по гладкій кривій , тобто у відсутності сил тертя. Проведемо в точці натуральну систему координат (натуральний тріедр) (рис.3.1). Спрямуємо дотичнув бік руху тіла, головну нормальв бік вигнутості кривої та перпендикулярну до них бінормаль(рис.3.1). Спроектуємо обидві частини рівняння (3.1) на ці вісі, враховуючи те, що реакції перпендикулярні догладкої кривої (), по якій рухається тіло. Тоді отримуємо:

, (3.2)

, (3.3)

. (3.4)

Оскільки :

,,, (3.5)

то вектор лежить в дотичній площині.

З врахуванням (3.5) отримуємо систему диференціальних рівнянь для руху точки по заданій кривій :

, (3.6)

(3.7)

0 = . (3.8)

Зауважимо, що в рівняння (3.6) не входять невідомі реакції , що дозволяє визначити закон руху точки по кривій, тобто. Рівняння (3.7) та (3.8) використовують для знаходження реакцій в’язів(їх компонент та ) .

Звернемо увагу на те, що рівняння руху вільної частинки отримуються з системи рівнянь (3.6)-(3.8), якщо покласти = 0. Якщо крива не є гладкою, тоді в рівняння (3.6) потрібно включити силу тертя (горизонтальну складовуреакції).

§ 4. Теорема про рух центру мас механічної системи

Механічною системою називається сукупність матеріальних точок, положення та рух кожної з яких залежить від положення та руху всіх останніх. Зауважимо, що довільне матеріальне тіло можна розглядати як механічну систему, що складається з неперервної сукупності матеріальних точок.

Нехай механічна система складається з матеріальних точок. Ці точки взаємодіють між собою внутрішніми силами (це сили, що діють на точкузбоку точки). Крім того, на кожну з них діють зовнішні сили з силою.з бокутіл, що не входять в систему,

Основними властивостями внутрішніх сил є наступні:

== 0,, (4.1)

- векторна сума внутрішніх сил системи (головний вектор внутрішніх сил системи) дорівнює нулю, та

= 0,, (4.2)

- векторна сума моментів внутрішніх сил системи (головний вектор моменту внутрішніх сил системи) відносно довільної точки дорівнює нулю.

Коли нам достатньо знати окремі параметри, які характеризують рух системи в цілому, в теоретичній механіці використовують ряд теорем.

Теорема про рух центра мас. Для системи, яка складається з матеріальних точок, положення центра мас механічної системи (радіус-вектор) визначається виразом

=, (4.3)

де – радіус-вектори матеріальних точок, що входять до системи,- маса системи.

Можна довести теорему: центр мас механічної системи рухається як вільна матеріальна точка, маса якої дорівнює сумі мас всіх елементів системи і на яку діє сила, що дорівнює головному векторузовнішніх сил

=. (4.4)

тут – прискорення центра мас.

Векторне рівняння (1.2) еквівалентне трьом скалярним:

,,, (4.5)

в яких ,та– компоненти вектора швидкості центра мас, а,та– координати центра мас.

З наведеної теореми випливають наступні наслідки:

1) внутрішні сили не змінюють характер руху центру мас системи;

2) якщо головний вектор зовнішніх сил дорівнює нулю, то центр мас системи рухається рівномірно та прямолінійно, або знаходиться в стані спокою, тобто

, (4.6)

де – початкова швидкість центра мас. Якщо= 0, то

, (4.7)

тобто центр мас системи не змінює свого положення в просторі;

3) якщо проекція головного вектора зовнішніх сил на деяку нерухому вісь (наприклад, ) дорівнює нулю, то проекція швидкості центра мас системи на цю вісь не змінюється(), і якщо= 0, тоді

, (4.8)

тобто центр мас системи не змінює свого положення в відносно осі .