§ 4. Диференціальні рівняння рухів твердого тіла

Довільний рух твердого тіла можна розглядати як суперпозицію його поступального та обертального рухів. Взагалі говорячи, в механічній системі кожне з тіл може здійснювати вказані вище рухи. Обмежимося розглядом тих випадків, коли всі тіла системи здійснюють рух в одній площині (наприклад, ), який часто зустрічається на практиці. Тоді для поступального руху будемо мати рівняння

, (4.1)

а для обертального руху навколо вісі, яка перпендикулярна до даної площини

. (4.2)

У випадку плоского руху, який можемо розглядати як суперпозицію поступального руху центру маси та обертального навколо центру маси, записуємо одразу два рівняння (4.1) – руху центру маси та (4.2) – обертання навколо центру маси.

У наведених рівняннях: - маса тіла,- радіус-вектор його центра маси,,, ...,- сили, що лежать у площиніта діють на дане тіло,- його момент інерції відносно вісі обертання,- кут повороту тіла,- момент, який створює кожна з сил відносно вісі обертання.

Якщо тіло буде здійснювати плоскопаралельний рух, то отримуємо два рівняння (5.1 ) та (5.2), які описують поступальний рух центру маси тіла та його обертальний рух навколо цього центру.

Контрольні запитання

1. Запишіть диференціальне рівняння поступального руху твердого тіла. Поясніть величини, які входять у це рівняння.

2. Запишіть диференціальне рівняння обертального руху твердого тіла. Поясніть величини, які входять у це рівняння.

3. Запишіть диференціальні рівняння плоского руху твердого тіла. Поясніть величини, які входять у це рівняння.

Продемонструємо застосування наведених рівнянь при на конкретному прикладі.Механічна система (рис. 4.1) складається з бруска 1 (= 5 кг), ступеневого блоку 2 (= 4 кг, великий радіус= 20 см, малий= 10 см,= 0,2 кгм²) та однорідного циліндра 3 (= 22 кг,= 10 см). Під дією сили тяжіння зі стану спокою тіла системи приходять у рух. Брусок 1 ковзає по похилій площині, яка утворює кут= 30до горизонту, коефіцієнт тертя ковзання= 0,2. Визначити прискорення тіл та натяги мотузок, якими з’єднані тіла механічної система. Тертя на осі блока 2 відсутнє, масою мотузок нехтувати, вважаючи їх нерозтяжними. Мотузка, що з’єднує тіло 1 та 2 паралельна похилій площині.

Розв’язання.Будемо вважати, що тіло 1 починає рух догори похилої площини і на момент, коли воно пройде шляхS₁, має прискорення.

В цьому випадку тіло 2 буде обертатися за напрямом руху стрілки годинника з певним кутовим прискоренням , тіло 3 буде здійснювати плоскопаралельний рух, обертаючись проти напряму руху стрілки годинника з кутовим прискоренням, а його центр (вісь обертання блоку) буде рухатись вниз з лінійним прискоренням(рис. 4.2).

З’ясуємо сили, які діють на кожне з тіл нашої системи щоб записати рівняння руху кожного тіла. Так, на перше тіло діють сила тяжіння , реакції опори, сили тертята натягу мотузки. Векторна сума цих сил зумовлює прямолінійний рух першого тіла вздовж похилої площини

. (1)

На друге тіло діють: сили тяжіння, реакція осі блокута натяги мотузокта. Сума моментів цих сил відносно нерухомої осі блокузумовлює обертальний рух другого тіла. Оскільки моменти силтавідносно осі блоку дорівнюють нулю, рівняння обертального руху тіла 2 набуває вигляду

, (2)

а відсутність поступального руху дає

= 0. (3)

На трете тіло діють сили натягу мотузок ,та сила тяжіння- ці сили зумовлюють плоскопаралельний рух третього тіла, який запишемо як суперпозицію поступального руху його центраСз лінійним прискореннямта обертального руху навколо цього центру з кутовим прискоренням:

, (4)

. (5)

Послідовно отримаємо скалярні рівняння руху для кожного з тіл, які входять до нашої системи. Для першоготіла спрямуємо вісьдекартової системи координат вздовж напряму його руху, вісьперпендикулярно до похилої площини. В проекціях на обрані вісі отримуємо:

,

.

З останнього рівняння знаходимо

,

що дає вираз для сили тертя

.

Тоді для рівняння поступального руху тіла 1 отримуємо

. (6)

Для другоготіла введемо декартову систему координат. Спря-муємо вісітагоризонтально та вертикально і тоді в проекціях на ці вісі отримаємо

, (7)

. (8)

Вісь спрямуємо через центр блоку перпендикулярно площині рисунку від нас і отримаємо рівняння його обертального руху

. (9)

Рух третьоготіла можна визначити як суперпозицію поступального руху його центра масиСз лінійним прискореннямта обертальним рухом навколо цього центру з кутовим прискоренням. Для цього тіла, яке здійснює плоскопаралельний рух, вісьспрямуємо вздовж прискорення поступального руху (вниз), а вісь обертання– проведемо через його центр маси перпендикулярно до площини рисунку до нас (в напрямі кутового прискорення тіла). Тоді рівняння поступального руху центра третього тіла та обертального руху навколо його осі набувають вигляду:

, (10)

, (11)

де - момент інерції циліндру відносно осі.

Таким чином, ми отримали систему шести рівнянь (6) – (11) з одинадцятьма невідомими: ,,,,,,,,,,. Щоб система рівнянь стала повною, скористуємось третім законом Ньютона і умовою невагомості та нерозтяжності мотузок:

,. (12)

Умови відсутності деформацій мотузок дає рівняння, які зв’язують між собою швидкості тіл системи. Швидкість точки А(дотику мотузки до зовнішньої поверхні блока 2) співпадає зі швидкістю першого тіла, тому

. (13)

Трете тіло здійснює плоскопаралельний рух з ненульовою кутовою швидкістю , отож, це тіло має миттєвий центр швидкостей (МЦШ) навколо якого воно здійснює обертальний рух. МЦШ розташований в точціР– дотику циліндра до нерухомої мотузки. Рівність лінійних швидкостей точок()та D () дає зв’язок між кутовими швидкостями блоку 2 та циліндра 3

. (14)

Лінійна швидкість центру циліндра зв’язана з його кутовою швидкістю

. (15)

Шляхом диференціювання обох частин рівнянь (13), (14) та (15) отримуємо:

, (16)

, (17)

. (18)

З (18) знаходимо зв’язок лінійного прискорення точки Сз лінійним прискоренням першого тіла

. (19)

Система рівнянь (6)–(11) розпадається на дві незалежні: (6,9 – 11) та (7 –8). Підставимо отримані співвідношення (12) та (16-18) та в систему рівнянь (6,9 – 11):

, (20)

, (21)

, (22)

. (23)

Розв’язок системи чотирьох рівнянь з чотирма невідомими ,,,є суто алгебраїчною задачею, яка може буди розв’язана різними методами

. (24)

Для проведення розрахунків, візьмемо до уваги, що момент інерції однорідного циліндра визначається за формулою = 0,025 кг^.∙м². Підставляючи дані задачі, отримуємо

= 2,12 (м/с²),

що дозволяє отримати вирази для натягу ниток ,,з рівнянь (20) – (22).