- •Содержание
- •Глава 1. Элементы линейной алгебры
- •1.1. Матрицы и операции над ними
- •1.2. Определители квадратных матриц и их свойства. Правило Крамера решения систем линейных уравнений
- •1.3. Обратная матрица. Решение матричных уравнений
- •1.4. Ранг матрицы
- •1.7. Контрольные задания к главе 1
- •Глава 2. Элементы векторной алгебры
- •2.1. Векторы на плоскости и в пространстве
- •2.2. Проекция вектора на ось. Скалярное произведение векторов
- •2.3. Векторное и смешанное произведения векторов
- •2.5. Задачи с экономическим содержанием к главам 1, 2
- •Глава 3. Основы аналитической геометрии
- •3.1. Простейшие задачи аналитической геометрии на плоскости
- •3.2. Прямая линия на плоскости
- •3.3. Кривые второго порядка, заданные каноническими уравнениями
- •3.4. Гипербола
- •3.5. Парабола
- •3.6. Поверхность и линия в пространстве. Плоскость
- •3.7 Уравнения прямой в пространстве
- •3.9. Понятие гиперплоскости. Выпуклые множества
- •3.10. Контрольные задания к главе 3
- •Раздел II. Введение в математический анализ
- •Глава 4. Функция одной переменной
- •4.1. Функциональная зависимость и способы ее представления
- •4.2. Элементарные функции. Преобразование графиков функций
- •Глава 5. ПРЕДЕЛЫ И НЕПРЕРЫВНОСТЬ
- •5.1. Числовая последовательность
- •5.2. Предел последовательности
- •5.3. Предел функции. Раскрытие простейших неопределенностей
- •5.4. Замечательные пределы
- •5.5. Сравнение бесконечно малых
- •5.6. Односторонние пределы
- •5.7. Непрерывность и точки разрыва функции
- •5.8. Контрольные задания к главам 4, 5
- •Глава 6. Производная и дифференциал
- •6.1. Определение производной. Правила дифференцирования
- •6.2. Производная сложной функции
- •6.3 Логарифмическая производная и производная неявной функции
- •6.6. Контрольные задания к главе 6
- •Глава 7. Приложения производной
- •7.1. Теоремы о среднем значении. Формула Тейлора
- •7.2. Правило Лопиталя-Бернулли
- •7.3. Интервалы монотонности и экстремумы функции. Наибольшее, наименьшее значения функции на отрезке
- •7.4. Выпуклость (вогнутость) графика функции. Точки перегиба
- •7.5. Асимптоты. Построение графиков функций
- •7.7. Контрольные задания к главе 7
- •Примерные варианты тестовых заданий
- •Задания к главе 1
- •Задания к главе 2
- •Задания к главе 3
- •Задания к главам 4,5
- •Задания к главам 6,7
- •Ответы
- •Глава 1
- •Глава 2
- •Глава 3
- •Глава 4
- •Глава 5
- •Глава 6
- •Глава 7
- •Литература
2.11.Даны координаты трех вершин параллелограмма ABCD : A(1;2) , B(3;7) , D(8;−1) . Найти координаты вершины C .
2.12.Даны координаты двух вершин треугольника ABC : A(1;2) , B(3;4) .
Отрезок AE – медиана треугольника, и AE(4;−1) . Найти координаты вершины C . 2.13. Найти положительное значение координаты x вектора a (x;−3;4) ,
если | a |= 5 |
|
. |
|
|
2 |
|
|
||
2.14. Найти диагонали параллелограмма, построенного |
на векторах |
|||
m(3;4;− 2) и n (−1;2;5) . |
|
|
||
2.15. Найти длину стороны |
BC треугольника ABC , если |
AB(1;−1;2) , |
||
AC(7;2;4) . |
|
|
||
2.16. Даны точки A(2;3;−1), |
B(8;12;− 4). Найти координаты: а) середины |
отрезка AB ; б) точек, делящих отрезок AB на три равные части.
2.17. Даны вершины A(4;−1), B(5;5), C(−3;1) треугольника ABC . Найти медиану, проведенную из вершины A.
2.18.На отрезке AB выбрана точка E так, что AE : EB =1: 4 . Найти координаты точки B , если A(1;− 2;5) , E(3;−1;1) .
2.19.Разложить вектор a по векторам p и q , если:
а) a (2;−5) , p(1;3) , q (2;5) ; б) a(4;5), p(3;2) , q (2;1) .
2.20. Разложить вектор a по векторам p , q и r , если:
а) a (6;1;4) , p(4;5;1) , q (3;2;1) , r (2;3;2) ;
б) a (10;−1;0) , p(3;1;−1) , q (2;−1;2) , r (3;2;1) .
2.2. Проекция вектора на ось. Скалярное произведение векторов
Проекцией вектора a на ось Ox называется число, обозначаемое ПрOx a и определяемое формулой
ПрOx a =| a | cosϕ ,
где ϕ – угол между вектором a и осью Ox .
Координаты вектора a в ортонормированном базисе равны проекциям вектора a на соответствующие координатные оси:
x = ПрOx a , y = ПрOy a , z = ПрOz a . |
(2.5) |
Косинусы углов α = (a ,i ), β = (a , j), γ = (a , j) называются направляю- |
|
щими косинусами вектора a . Формулы (2.5) можно переписать в виде |
|
x =| a | cosα , y =| a | cos β , z =| a | cosγ . |
(2.6) |
Направляющие косинусы вектора a связаны соотношением |
|
cos2 α + cos2 β + cos2 γ =1. |
(2.7) |
59
Пример 2.4. Вектор a образует углы α =120 |
и β = 60 |
|
с осями Ox и Oy |
||||||||||||||||||||||
соответственно. Найти: а) угол γ , |
который образует вектор a с осью Oz , если |
||||||||||||||||||||||||
известно, что он острый; б) координаты вектора a , если | a |= 6. |
|||||||||||||||||||||||||
Р е ш е н и е . а) Из формулы (2.7) находим: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
cos2 γ =1−cos2 α −cos2 β =1 |
|
− |
1 |
2 |
|
|
1 |
2 |
1 |
. |
|||||||||||||||
− |
2 |
|
− |
2 |
= |
2 |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Так как угол γ – острый, то cosγ = |
|
= |
|
|
2 |
|
, и γ = 45 . |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
Б) Координаты вектора a найдем по формулам (2.6): |
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
1 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
x = 6 − |
|
= −3, y = 6 |
|
|
= |
|
3, |
z = |
6 |
|
|
|
= 3 2 . |
|
|||||||||||
2 |
2 |
|
2 |
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Скалярным произведением векторов a и b |
называется число, обозначае- |
мое (a ,b) и определяемое формулой |
|
(a ,b) =| a || b | cos(a ,b) . |
(2.8) |
Основные свойства скалярного произведения векторов:
1)(a ,b) = (b ,a);
2)(λa ,b) = (a ,λb) = λ(a ,b);
3)(a +b ,c) = (a ,c) + (b ,c) ;
4)a 2= (a ,a) =| a |2 ;
5)(a ,b) = 0 a и b ортогональны (при условии | a | ≠ 0 ≠| b |).
Из определения скалярного произведения следует, что |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(a |
,b) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
cos(a |
,b) = |
| |
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(2.9) |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a || b | |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Проекция вектора a на ось, |
сонаправленную с вектором b , может быть |
|||||||||||||||||||||||||||
найдена по формуле |
|
|
|
|
|
|
|
(a ,b) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
Пр a = |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(2.10) |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
b |
b |
|
| b | |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Если векторы a (x ; y ; z ), |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
(x ; y |
; z |
2 |
) заданы координатами в ортонор- |
|||||||||||||||||||||||||
|
|
1 |
1 |
1 |
|
|
2 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
мированном базисе, то (a ,b) = x x |
+ y y |
2 |
+ z z |
2 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(2.11) |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
1 |
2 |
1 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
и b(2;− 2;1) . |
|||||||
Пример 2.5. Найти угол между векторами a (4;−1;−1) |
||||||||||||||||||||||||||||
Р е ш е н и е. Согласно формулам (2.9) и (2.11), |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
(a |
,b) |
|
|
4 2 −1 (−2) −1 1 |
|
9 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
||||||||||||||||||
cos(a |
,b) = |
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
= |
|
|
|
, |
|
| |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|||||||||
|
16 +1+1 4 |
+ 4 +1 |
9 2 |
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
| a |
|| b |
|
|
|
|
|
|
|
60
|
|
π |
|
|
откуда (a |
,b) = |
4 . |
|
|
Пример 2.6. Найти длину вектора a = 2 p −3q , если |
| p | = 3, |
| q | = 2, |
(p,q) = π3 .
Ре ш е н и е. Используя свойство 4) скалярного произведения, имеем:
|
|
|
|
|
| a | = |
a 2 |
= |
(2 p −3q )2 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
Применяя далее свойства 1) – 3), находим |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
(2 p −3q )2 = 4 p 2−12( p,q) +9q 2 = 4 | p |2−12 | p || q | cos( p,q) +9 | q |2 = |
||||||||||||||||
|
|
= 4 9 −12 3 2 1 |
+9 4 = 36. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Следовательно, | a | = 6. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
Пример 2.7. Найти вектор единичной длины, |
ортогональный векторам |
|||||||||||||||
m (2;−1;− 2) и n (1;1;− 4) . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
Р е ш е н и е . По свойству 5) скалярного произведения, для любого векто- |
||||||||||||||||
ра |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
выполняются |
равенства |
|||||||
p(x; y; z), |
ортогонального векторам m |
и n , |
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Кроме того, по условию |
|
x |
2 |
+ y |
2 |
+ z |
2 |
=1 |
. Выражая |
||||||||
( p,m) = 0 |
и ( p,n) = 0. |
| p | = |
|
|
|
|
скалярные произведения векторов через их координаты, получим систему уравнений
решив которую,
|
|
2 |
; |
2 |
; |
1 |
|
и |
|
|
− |
p1 |
|
3 |
3 |
3 |
|
p2 |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2x − y − 2z = 0,x + y − 4z = 0,x2 + y2 + z2 =1,
найдем |
|
два противоположно направленных вектора |
||||
2 |
;− |
2 |
;− |
1 |
|
, удовлетворяющих условию задачи. |
3 |
|
3 |
|
3 |
|
|
Задачи для самостоятельного решения
2.21. Построить точку M (4;−3;5) и определить длину и направление ее
радиус-вектора. |
|
|
|
||
|
|
|
|||
2.22. Даны точки A(1;2;3) и B(3;− 4;6) . Построить вектор AB , найти его |
|||||
проекции на оси координат и определить его направление. |
|||||
2.23. Разложить вектор a |
по базису i , |
j, k , если он образует с осями ко- |
|||
π |
2π |
π |
|
|
|
|
|||||
ординат Ox, Oy, Oz углы α = 4 |
, β = 3 , γ = |
3 |
соответственно, и | a |= 4 2 . |
2.24. Вектор a образует углы α = 60 и γ = 45 с осями Ox и Oz соответственно. Найти: а) угол β , который образует вектор a с осью Oy , если известно, что он тупой; б) координаты вектора a , если | a | = 2.
61
2.25. Найти координаты вектора a , образующего равные острые углы с осями координат, если a 2 =12 .
2.26. Найти скалярное произведение векторов a = 6i +3 j − 4k и
b= 4i − 2 j + 2k .
2.27.Известно, что | a |=1, | b | = 2 , (a ,b) = π3 . Найти:
а) (a ,a + 2b) ; |
б)(a − 2b ,3a +b) ; |
в) | 2a −3b | . |
|
|
|
|
2.28. Найти скалярное произведение векторов a и b , если a = 2 p −3q и |
||||||
b = 4 p + q , где p и q – единичные ортогональные векторы. |
|
и b = 3p − 2q , |
||||
2.29. Найти скалярное произведение векторов a = 2 p + q |
|
|||||
если | p |= 2 , |
| q |= 3, и ( p,q) = π . |
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
и ( p,q) = π . |
||
2.30. Найти длину вектора a = 4 p − q , если | p |=1, | q |= |
|
|||||
3 |
||||||
|
|
|
|
|
|
6 |
2.31. Найти длины диагоналей параллелограмма, построенного на векто- |
||||||
рах a = 2 p + q и b = p − 2q , где | p |=| q |=1, и ( p,q) = π . |
|
|
|
|
||
|
|
3 |
|
|
|
|
2.32. Найти угол между векторами a (−1;4;1) и b(1;2;2). |
|
|
|
|
||
2.33. Найти угол между диагоналями параллелограмма, построенного на |
||||||
векторах a(6;−1;1) и b(2;3;1). |
|
|
|
|
|
|
2.34. Найти угол между векторами a = 3p + 2q и b = p +5q , где |
p |
и q – |
||||
единичные ортогональные векторы. |
|
|
p |
и q – |
||
2.35. Найти угол между векторами a = p − q и b = 2 p + 4q , где |
единичные векторы, и ( p,q) = 23π .
2.36. Найти угол между биссектрисами углов xOy и xOz .
2.37. Из вершины квадрата проведены две прямые, делящие противоположные стороны пополам. Найти угол между этими прямыми.
2.38. Найти угол между биссектрисами двух плоских углов треугольной пирамиды, имеющих общую вершину, если все ребра пирамиды равны.
|
2.39. Даны точки |
A(2;−3;4), B(5;−5;− 2), C(1;2;3), D(7;4;6) . |
Найти |
|
Пр |
|
|
|
|
AB . |
|
|
|
|
CD |
|
a(1;−1;4) и |
b(1;1;2) . Вычислить Пр a и Пр b . |
|
|
2.40. Даны векторы |
|||
|
2.41. Найти проекцию вектора a |
b |
a |
|
|
(2;−3;4) на ось, образующую равные |
углы с осями координат.
62