1.3. Обратная матрица. Решение матричных уравнений

Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Белорусский государственный экономический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

сборник заданий по матем часть1.pdf

Скачиваний:

404

Добавлен:

20.02.2016

Размер:

3.17 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 34 / 454 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

5x1	−		x2	+ 4x3	= 25,	3x1 +	x2 +	x3 = 2,
е) x1
е) x1	+ 4x2 +3x3 =16, ;					ж) x1 − 2 x2 + 2x3 = −1, ;
17x		− x			=17;	4x −3x −		x = 5;
1			2			1	2	3

2x1 + x2	+ x3	= −1,		x1 − 2x2	+3x3 =1,
з) 2x1 − x2	+ 2x3	= −4,		и) 2x1 − x2	= 2,
			;			.

4x1 + x2 + 4x3 = −2;				3x1 −3x2 +3x3 = 5.

1.47. Решить систему при всех значениях параметра m:

	(m +1)x − y = m,
а)
а)	;
	(m −3)x + my = −9;

	x −(m −1)y = 2,
б)
б)	(m + 2)x + 2y =	4	− m2
	(m + 2)x + 2y =	4	− m2	.

жая слева обе части этого уравнения на

A−1(AX ) = A−1C, (A−1A)X = A−1C, EX = A−1C, X = A−1C.

Пример 1.10. Решить матричное уравнение:

Квадратная матрица А n-го порядка называется невырожденной (неособенной), если ее определитель отличен от нуля: ∆ = det A ≠ 0. Если det A = 0, то матрица А называется вырожденной.

Матрица В называется обратной к матрице А, если АВ = ВА = Е, где Е –

единичная матрица. Обратную матрицу принято обозначать A−1 . Можно показать, что если для данной матрицы А существует обратная, то она единственная.

Теорема. Для того, чтобы матрица А имела обратную матрицу, необходимо и достаточно, чтобы А была невырожденной. Тогда обратная матрица

находится по формуле		−1		1		где
	A		=		А ,
	A		=	det	А ,
				det
			A11		A21		An1
			A12		A22		An2
	A =							.
					A2n
			A1n		A2n		Ann

Матрица Аназывается присоединенной к матрице А. Ее элементами слу-

									′
жат алгебраические дополнения элементов транспонированной матрицы A .
Пример 1.7. Найти A−1, если она существует, для матрицы								a	b
Пример 1.7. Найти A−1, если она существует, для матрицы								A =	.
								c	d
Р е ш е н и е.	Вычисляем			a	b	= ad −bc ≠ 0 .		Находим по-
Р е ш е н и е.	Вычисляем			det A =		= ad −bc ≠ 0 .		Находим по-
				c	d
следовательно A	= (−1)1+1M	11	= d;	A = (−1)1+2 M		12	= −c;
11		11		12		12

= (−1)2+1 M

= −b;

= (−1)2+2 M

= a. Тогда

−b

A−1 =

= ad −bc

ad −bc

−c

ad −bc

																																0			1	2
Пример 1.8. Найти A													−1		, если она существует, для																A =				0
Пример 1.8. Найти A															, если она существует, для																A =	2			0	3 .
																																			0
																																0			0	1
Р е ш е н и е. Вычисляем определитель, разлагая по элементам второго
столбца: det A										1+2		2	3			= −2 ≠ 0 . Находим алгебраические дополнения:
										1+2		2	3
				=1 (−1)								0	1
А =	0 3					= 0; А = −								2 3					= −2; А =						2 0				= 0 ;		А = −		1 2			= −1;
А =	0 3					= 0; А = −								2 3					= −2; А =						2 0				= 0 ;		А = −		1 2			= −1;
11		0		1						12				0				1						13		0	0				21		0		1
		0		1										0				1								0	0						0		1
А =			0 2				= 0 ; А = −										0 1			= 0 ;				А =		1 2				= 3;	А = −			0 2		= 4;


22			0	1							23						0	0						31		0	3				32			2	3
			0	1													0	0								0	3							2	3
А =		0		1		= −2.
А =		0		1		= −2.
33		2		0
		2		0
								0 −1						3										0 1/ 2					−3 / 2
Тогда											0										A	−1	=			0				−2
Тогда				A =				−2			0			4 ,							A		=	1		0				−2	.
									0		0																	1
									0		0		−2											0 0				1
Проверкой убеждаемся, что
										0		1 2 0 1/ 2												−3 / 2				1 0			0
				АA				−1	=															−2			=					= Е .
				АA					=	2		0 3 1 0												−2			=	0 1			0	= Е .
																								1
										0		0 1 0 0												1				0 0			1
										0		1/ 2 −3 / 2 0												1 2				1 0			0
				A	−1			А =			0							−2									=					= Е .
				A				А =		1	0							−2			2			0 3			=	0 1			0	= Е .
											0							1
										0	0							1			0			0 1				0 0			1

Для невырожденных матриц имеют место следующие свойства:

1. (A

−1

)

−1

= A;

2. (AB)

−1

= B

−1

;

3. (A

)

−1

= (A

−1

)

;

4. (A

−1

′

−1

)

= (A )

справедливость которых рекомендуется проверить самостоятельно.

Нахождение обратной матрицы с помощью элементарных преобразований ее строк

Пусть А – невырожденная матрица. Назовем элементарными преобразованиями строк этой матрицы:

1.Перемену двух строк местами.

2.Умножение всех элементов строки на число, не равное нулю.

3.Прибавление ко всем элементам одной строки соответствующих элементов другой строки, умноженной на некоторое число.

Применяя указанные элементарные преобразования строк к матрице

				a11		a12	a1n			1	0 0
				a11		a12	a1n			1	0 0

A		E = a21				a22 a2n				0	1	0	,
A		E = a21				a22 a2n				0	1	0	,



						an2 ann				0	0	1
приведем ее к виду:				an1		an2 ann				0	0	1
приведем ее к виду:
					1	0 0			b11		b12	b1n
					1	0 0			b11		b12	b1n

E			B =		0	1 0			b21		b22 b2n .
E			B =		0	1 0			b21		b22 b2n .



					0	0 1			bn1		bn2	bnn
					0	0 1			bn1		bn2	bnn


Поскольку A−1 A	E =			A−1A		A−1E	= E	A−1			, то	B = A−1.Отсюда получаем

следующий способ нахождения обратной матрицы A−1 ( при условии, что det A ≠ 0 ):

1.Записываем матрицы А и Е рядом через черту: А Е .

2.С помощью элементарных преобразований над строками полученной матрицы приводим ее к виду Е В .

3.Выписываем обратную матрицу A−1 = B.

Пример 1.9. С помощью элементарных преобразований над строками

					0	1	2
найти матрицу A	−1	,	обратную матрице	A =		0
найти матрицу A		,	обратную матрице	A =	2	0	3 .
						0	1
					0	0	1

Р е ш е н и е. Выпишем матрицу А Е , указывая выполняемые элемен-

тарные преобразования над строками (римскими цифрами указан номер строки):

0 1 2				1 0					0						2 0 3			0 1		0 : 2



2 0 3				0 1					0						0 1 2			1 0		0
				0 0														0 0
0 0 1				0 0					1						0 0 1			0 0		1
												3
1	0	3 / 2					0		1/ 2		0 −				ΙΙΙ			1	0	0			0	1/ 2	−3 / 2
1	0	3 / 2					0		1/ 2		0 −		2		ΙΙΙ			1	0	0			0	1/ 2	−3 / 2
	1		2				1			0									1	0			1	0	−2
0	1		2				1			0	0	−2 ΙΙΙ						0	1	0			1	0	−2	.
							0 0													1			0 0		1
0 0 1							0 0				1							0 0		1			0 0		1
						0			1/ 2		−3 / 2
Тогда А			−1		=					0	−2
Тогда А					=	1				0	−2			.
										0	1
						0				0	1
										0	1 2 0 1/ 2							−3 / 2				1		0 0
Проверка:					АА			−1	=		0					0			−2	=					;
Проверка:					АА				=	2	0	3 1				0			−2	=		0		1 0	;
											0 1								1
										0	0 1			0 0					1			0		0 1
										0	1/ 2 −3 / 2 0							1 2			1			0 0
					А		−1	А	=		0				−2					=
					А			А	=	1	0				−2	2		0 3		=	0			1 0 .
											0			1			0 1
										0	0			1		0	0 1				0			0 1

Решение матричных уравнений с помощью обратной матрицы

Матричным назовем уравнение, в котором роль неизвестного играет некоторая матрица Х. Простейшими примерами таких уравнений могут служить уравнения АХ = С, ХВ = С, АХВ = С, где Х и С – прямоугольные матрицы равных размеров, А и В – квадратные матрицы соответствующих размеров. Если предположить, что матрицы А и В невырожденные, то эти уравнения имеют

одно и только одно решение X = A−1C, X = CB−1 и X = A−1CB−1 соответственно. Действительно, рассмотрим, например, уравнение АХ = С, где det A ≠ 0. Умно-

Р е ш е н и е. Обозначая А =												3		−1			5	6			14 16
Р е ш е н и е. Обозначая А =															, В =					, С =		, полу-
												5		−2			7	8				9 10
чим АХВ = С. Если det A ≠ 0, det B ≠ 0, то X = A−1CB−1. Находим
det A =	3 −1			= −6 +5 = −1,					тогда						−2		1	2		−1	,
	3 −1														−2		1	2		−1
	5 −2											А−1 = −1						=
	5 −2														−5		3	5		−3
det B =	5 6	= 40				− 42 = −2,			В	−1	= −		1	8	−6			−4		3		,
	5 6									−1			1	8	−6			−4		3
	7 8												2				=
	7 8												2	−7 5			7 / 2			−5 / 2
2	−1 14 16 −4								3			19			22 −4				3		1	2
Х =			9									=								=		.
5	−3		9			10 7 / 2			−5 / 2			43			50 7 / 2			−5 / 2			3	4
Систему n линейных уравнений с n неизвестными (1.4) можно предста-
вить в виде матричного уравнения												AX = B , где A – матрица системы (1.4),
									x1						b1
									x						b
									X =		2	,			B =	2	.

									xn						bn
Поскольку матрица А – квадратная, то при условии det A ≠ 0 существует
обратная матрица A−1							и тогда система (1.4) имеет единственное решение, мат-
ричная запись которого имеет вид X = A−1B.																3x1 + x2 − x3 = 2,
																3x1 + x2 − x3 = 2,
Пример 1.11. Решить систему уравнений																	x1 −	x2 + x3 = 2, матричным
																	x +	2x		+ 2x	=	7
методом.																	1		2	3
методом.															3		1	−1
															3		1	−1
Р е ш е н и						е. Выпишем матрицу A										−1		1		Найдем ее определи-
Р е ш е н и						е. Выпишем матрицу A									= 1	−1		1	.	Найдем ее определи-
																	2	2
															1		2	2
тель ∆ = det A =					3	1	−1
					3	1	−1
					1	−1	1	= −6 +1− 2 −1−6 = −16 ≠ 0.
					1	2	2

Следовательно, матрица А неособенная и для нее существует обратная матрица A−1. Найдем алгебраические дополнения матрицы А:

A	1+1	−1 1		= −2 − 2 = −4;	A	1+2	1	1	= −(2 −1) = −1;
	1+1	−1 1				1+2	1	1
	= (−1)					= (−1)
11		2	2		12		1	2
		2	2				1	2

A			1+3	1					−1			= 2 +			2 = 3;						A		= (−1)	2+1			1		−1			= −(2 + 2) = −4;
			1+3	1					−1															2+1			1		−1
		= (−1)
13				2					2												21						1		2
				2					2																		1		2
A		=	(−1)2+2				3 −1					= 6 +1 = 7;									A		= (−1)2+3					3 1			= −(6 −1) = −5;
A		=	(−1)2+2				3 −1					= 6 +1 = 7;									A		= (−1)2+3					3 1			= −(6 −1) = −5;
22							1		2												23							1	2
							1		2																			1	2
A		= (−1)3+1				1 −1							= 0;							A		= (−1)3+2				3 −1				= −(3 +1) = −4;
A		= (−1)3+1				1 −1							= 0;							A		= (−1)3+2				3 −1				= −(3 +1) = −4;
31					−1				1												32					1			2
					−1				1																	1			2
A		= (−1)3+3								3 1	= −4.
A		= (−1)3+3								3 1	= −4.
33						1			−1
						1			−1
			Тогда обратная матрица имеет вид:
												1			−4		−4		0				0,25						0,25				0
					A			−1				1
									=					=		−1	7		−4		=		0,0625					−0,4375					0,25 .
									=	−16				=		−1	7		−4		=		0,0625					−0,4375					0,25 .
																3	−5								0,3125
																3	−5		−4			−0,1875			0,3125								0,25
Используя равенство X = A−1B,																		получим
			0,25						0,25							0		2					0,25 2 + 0,25 2 + 0 7												1
X			0,0625						−0,4375										=		0,0625 2 −0,4375 2 + 0,25 7
X	=		0,0625						−0,4375							0,25		2	=		0,0625 2 −0,4375 2 + 0,25 7													=	1		.
		−0,1875							0,3125							0,25 7				−0,1875 2 −0,3125 2 + 0,25 7																2

Задачи для самостоятельного решения

1.48. Дана матрица A			3	8	Используя определение обратной матри-
1.48. Дана матрица A			=	.	Используя определение обратной матри-
			1	2
цы, выяснить, является ли матрица В обратной матрице А, если
3	1	−3 2	4	;	−1	4	−2	8
а) B =	;	б) B =		;	в) B =	;	г) B =	.
8	2	1 2	−4		1 2	−3 2	1	−3

1.49. Проверить, являются ли взаимно обратными матрицы:

	1 −1		1	−1			1 1		0	0
									1
A =	0 1		−1 1		,	B =	0 1		1	0
A =		0	1		,	B =		0 1		.
	0	0	1	−1			0	0 1		1
	0	0	0	1			0	0 0		1

1.50. Выяснить, при каких значениях k существует матрица, обратная данной:

		2	4	−1				2 − k		1			1
а)			2	1		;	б)		1	2 − k			1	;
	k − 2
		0	0	3					1	1
													2 − k
	−1		2	k					k 0	k	2
												−1
в)			5	k	;		г)		1 0		k
	k −1												.
		k	3	0					3 2		4

1.51. Пусть А – невырожденная матрица. Записать формулу для нахожде-

ния обратной матрицы, если											a		b
ния обратной матрицы, если										A =			.
											c		d
				1.52.		Пусть		B = (bik )−			матрица,			обратная			невырожденной матрице
			−3		2	6
A =				0	1	0 . Найти в матрице В элемент: а) b									;	б) b ;		в) b .
														32			21		22
				−1	7
				−1	7	1
				1.53. Найти матрицы, обратные данным, если они существуют. Результат
проверить умножением.
а)	−3				5		б)	1	−4		в)	15		−5			−5	4	;
а)			−1		;		б)		;		в)		3	;		г)			;
			−1		2			2	−3				3	−1			0	3
	1 −1					1			3	1 1				2		−1 −1
д)								е)				;				4		;
д)	2 1					−2 ;		е)	1	−2 2		;		ж) 3		4	−2	;
						3				−3
	1 2					3			4	−3	−1			3		−2 4
	1 1					2			1	−1 1					0		0	0	1 3
	1 1					2			1	−1 1					0		0 1 4 0
з)		2 −1				2	;	и) 2		1 1 ;				к)	0		0 1 4 0			;
														0			1 6 0		0
		4 1
		4 1				4			1	1 2							0	0	0
														1 12			0	0	0
	1 0					0 0					1		−3 0 0

л)			−1 1			0 0		;			м) 0		1 0 0 .
			1 −1
			1 −1			1 0					0		0 2 1
	−1 1					−1 1					0		0 1 1

1.54. Решить матричным способом следующие системы уравнений:

	x1 − x2 + x3					= −2,												3x1 + x2				+ x3 = 2,
а) 2x1 + x2 −2x3 = 6,																	б) x1 − 2x2
а) 2x1 + x2 −2x3 = 6,									;								б) x1 − 2x2					+ 2x3 = −1, ;
	x	+ 2x		+3x			= 2;											4x		−3x		− x =			5;
	1		2		3													1			2			3
	3x1 + x2 +				x3	=15,												3x1 + 4x2				− x3 = −16,
																	г)	3x1 − 2x2				+ x3 = 24,
в) 5x1 + x2 + 2x3 = 20, ;																	г)	3x1 − 2x2				+ x3 = 24,					;
	6x	− x		+	x	=10;												2x		−	x	+x		=8;
	1		2		3													1			2	3
	x1 − 2x2 +x3						= 0,											x1 − 2x2				+ 2x3 = −1,
д) 2x1 − x2					−1 = 0,												е) 3x1 + x2					+ x3 = 2,
д) 2x1 − x2					−1 = 0,						;						е) 3x1 + x2					+ x3 = 2,
	3x	+ 2x		− x		− 4 = 0;												4x		−	3x	− x		=	5.
	1		2		3													1			2		3
		1.55. Решить матричные уравнения:
	10			26			3				4											б)	2			3			9	10
а) X						=						;										б)					X	=			;
	−10			−7			−1				5												−1			4			1	−5
в)	−1		2		1		0	=		−2			−12									г)	4		6		X =		1 1
в)			X					=					−4		;							г)					X =			;
	0		1		2		4			1			−4										6		9				1 1
д)	3		−1	X	5		6	=		4 16				;								е)	2		−3				2	3	;
д)				X				=						;								е)					X	=			;
	5		−2		7		8			9 10													4		−6				4	6
	5 3						1		8				3 0										1 1				1			3	0
			1 −3								−5											з)
ж) X			1 −3			−2		=			−5		9 0 ;									з)	2 1				−1 X =			2	0 .

	−5 2						1		−2 15						0								3 1				−1			3	0
		1.56. Найти матрицу Х, если
												1	1 1						1			−1 2							2	3 0
а)	AX + B = 2C, где A										=		1			,		B =				3					C =			−3		;
а)	AX + B = 2C, где A										=	0	1		1	,		B =	0			3		4 ,			C =		4	−3	5	;
																						0
												0	0 1						−2			0		−1					1	−1 0
												1		−1 3							1		3 −2
б)	XA − 2B = E, где A =													5		7		B =					2		0
б)	XA − 2B = E, где A =											−2		5		7	,	B =			−1		2		0	.
																						−1 4
												−1		1 2							3	−1 4

<<< < Предыдущая 1 2 34 / 454 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
10.11.2018976.38 Кб32Савицкая Г.В. Опорный конспект по АХД в АПК.doc
#
28.09.20192.74 Mб41самая лучшая инфа по костюмам ж и м + паспорт.doc
#
31.08.20193 Mб47сахар.doc
#
21.08.20191.1 Mб6Сацук С.Н. Коипьютерные информационные технолог...doc
#
20.02.20162.2 Mб145сборник выс мат часть 1(2013).pdf
#
20.02.20163.17 Mб404сборник заданий по матем часть1.pdf
#
20.02.20163.36 Mб8Сборник стандартов СТП 20-04-2008.doc
#
20.02.2016182.78 Кб210Сборник тестов(Логистика).doc
#
20.02.2016358.91 Кб15Сбытовая политика--курс.Баранова.doc
#
14.11.2018176.64 Кб8Свитин В.Ф. Основы физ. подготовки.doc
#
21.08.2019451.45 Кб5свобода и ответственность.rtf