2.70. Найти базис системы векторов. Записать координаты векторов системы в найденном базисе:

а) x1 = (1;−2;5), x2 =(−2;4;−10), x3 = (3;−6;15) ;

б) x1 = (1;0;2), x2 =(1;1;− 2), x3 = (1;− 2;10), x4 = (3;2;−1) ;

2.73.Векторы x1 , x2 , x3 образуют линейно независимую систему. Будет ли линейно независимой система 3x1 , x1 − x2 , x3 − x2 ?

2.74.В базисе e1 , e2 , e3 даны векторы x = 2e1 −αe2 + 6e3 , y = e1 + 4e2 + β e3 . При каких значениях α и β они линейно независимы?

2.75.Дан базис e1 , e2 , e3 . Проверить, образуют ли базис следующие си-

стемы векторов:

x1, x2 −количество единиц товара первого и второго вида соответственно, заданы цены c = (c1, c2 ), где c1 = 3, c2 = 5 условных денежных единиц.

1.Укажите несколько наборов товаров стоимостью а) 15; б) 30; в) 45 условных единиц.

2.Пусть цены изменились и стали равными cнов. = (4, 4). Приведите при-

меры наборов товаров, которые а) подешевели; б) подорожали; в) остались той же стоимости, если начальная стоимость равна 30 у.е.

71

2.77.В пространстве трех товаров с ценами (3, 5, 4) укажите несколько наборов товаров стоимостью а) 19; б) 34; в) 53. 2. Пусть цены изменились и стали равными (4, 4, 5). Для наборов товаров первоначальной стоимости, равной 34, приведите примеры наборов товаров, которые: а) подешевели; б) подорожали; в) остались той же стоимости.

2.78.При нормальной интенсивности λ1 =1 первый велосипедный завод

производит в месяц G1 = (3000, 4000, 6000, 1000) мужских, женских, детских и

ные числа округляются до целых). Второй завод при нормальной интенсивности λ2 =1 производит в месяц G2 = (4000, 5000, 6000, 0) таких же велосипедов.

1. Сколько велосипедов в месяц производит первый завод, если интенсивность составляет: а) λ1 = 2; б) λ2 = 3; в) λ3 = 0,5?

2. Сколько и каких велосипедов в месяц производят оба завода, если:

а) λ1 =1, λ2 = 2; б) λ1 = 2, λ2 = 3?

3. Какие линейные операции над векторами пространства R4 надо произвести, чтобы ответить на вопросы 1 и 2?

а) Вычислить матрицу, элементами которой служат средние объемы добычи в 2005 г. и в 2006 г. по странам и видам сырья.

б) Вычислить матрицу приростов объемов добычи с 2005 г. по 2006 г.

2.80. Для некоторого предприятия данные об объемах продаж продукции (в единицах) в течение года заданы с помощью матрицы А , в которой по строкам представлены данные о районах продаж (1, 2 и 3), а по столбцам – о видах продукции (1, 2 и 3). Данные о ценах (в у. е.) единицы продукции вида 1, 2 и 3 заданы в виде вектора – столбца В.

72

Рассчитать вектор p, координаты которого равны выручке, полученной в районе 1, 2 и 3, а также вычислить общую выручку S предприятия по всем

2.81. Предприятие выпускает ежесуточно четыре вида изделий. Данные о количестве выпускаемых изделий каждого вида, расходе сырья на единицу изделия, норме времени и цене изделий представлены в таблице:

Требуется: введя векторы ассортимента g = (20, 50, 30, 40), расходов сы-

рья s = (5, 2, 7, 4), затрат времени t = (10, 5, 15, 8), цен p = (300, 150, 450, 200)

вычислить: а) расход сырья S; б) затраты рабочего времени Т; в) стоимость Р выпускаемой продукции предприятия в течение суток.

2.82. Предприятие выпускает четыре вида изделий с использованием 4-х видов сырья. Нормы расхода j-го вида сырья на производство единицы продук-

73

жен удовлетворять вектор p(2) = ( p1, p2 , p3 , p4 ), чтобы выручка от реализации в

первую неделю равнялась выручке во вторую неделю? Найти какое-либо решение этого уравнения.

2.84. Вектор объемов производства имеет вид x = (11, 12, 13, 14), а ценовой вектор p = (1, 2, 3, c), где xi −объем производства продукции вида i в единицах, pi −цена единицы продукции вида i. Какой должна быть цена с одной

единицы продукции четвертого вида, чтобы выручка от реализации составила не менее 200?

2.85. Имеется груз трех видов в количествах 41, 50, 53 единиц соответственно. На один грузовик первого типа может быть помещено a11 единиц пер-

вого груза, a21 единиц второго груза и a31 единиц третьего груза, аналогичный

виков каждого типа нужно заказать, предполагая их полную загрузку, чтобы весь груз был вывезен?

2.86. Предприятие выпускает три вида продукции Π1, Π2 , Π3, используя три вида ресурсов P1, P2 , P3. Нормы расхода ресурсов и их запасы заданы в таблице:

Предполагая полное использование ресурсов, составить план выпуска продукции.

2.87. При откорме животных каждое животное должно получить ежедневно 10 единиц питательного вещества А, 3 единицы питательного вещества В и 11 единиц питательного вещества С. Используется три вида кормов K1, K2 , K3. Данные о содержании питательных веществ в 1 кг каждого вида

корма представлены в таблице:

74

Составить дневной рацион питания животных, предполагая полное удовлетворение в каждом из питательных веществ.

2.88.Трикотажная фабрика выпускает свитера, джемперы и жакеты, на которые расходуется шерсть, нейлон и мохер. На свитер расходуется 600 г шерсти и 200 г нейлона, на джемпер – 500 г шерсти, 100 г нейлона и 100 г м о- хера, на жакет – 400 г шерсти, 80 г нейлона и 200 г мохера. На фабрике им еется

вналичии 180 кг шерсти, 44 кг нейлона и 42 кг мохера. Требуется составить ассортиментный набор выпуска свитеров, джемперов и жакетов, предполагая полное использование имеющегося сырья.

2.89.Для производства трех видов изделий А, В и С используется токарное, фрезерное и шлифовальное оборудование. Нормы затрат времени в мин., затрачиваемые на обработку единицы каждого изделия, представлены в таблице:

Найти план выпуска изделий А, В и С, предполагая полное использование оборудования.

2.90. На звероферме выращиваются лисы, песцы и норки. При этом используются корма трех видов А, В и С. Количество корма каждого вида, необходимое одному животному и общее количество каждого вида корма, имеющим в наличии, приведены в таблице:

75

Сколько животных каждого вида надо выращивать при условии полного использования всех кормов?

2.91. На мебельной фабрике выпускают столы, шкафы и стулья, потребляя при этом три вида ресурсов. Нормы расхода ресурсов на производство одной единицы каждого вида изделий и запасы ресурсов приведены в таблице:

Сколько столов, шкафов и стульев надо запланировать к выпуску, чтобы полностью израсходовать все ресурсы?

2.6. Контрольные задания к главе 2 Вариант 1

1.На стороне BC треугольника ABC взята точка K так, что BK : KC = 2:3. Разложить вектор AK по векторам a = AB и b = AC .

2.Даны точки A(3;2;−1), B(1;− 4;3), C(0;3;−1), D(−6;3;5) . Найти:

а) координаты вектора KN , где K – середина отрезка AB , а точка N делит отрезок CD в отношении 1: 2 ;

б) проекцию вектора AB на ось, определяемую вектором CD .

3.Найти угол между диагоналями параллелограмма, построенного на век-

торах a(1;0;1), b(1;2;−1) .

4. Найти скалярное произведение векторов a = 2 p − q и b = p +3q , если

|p |= 2 , | q |=1, ( p ,q) = π3 .

5.Вектор x перпендикулярен оси Ox и вектору p и образует острый угол с

осью Oy . Найти координаты вектора x , если p = (1; 2; 6), x = 10 .

6.Найти площадь треугольника с вершинами A(3;2;−1), B(1;− 4;3),

C(0;3;−1) .

76

7.Вычислить объем треугольной пирамиды с вершинами A(3;2;−1),

B(1;− 4;3), C(0;3;−1), D(−6;3;5) .

8.Найти базис системы векторов a = (1;−2;3), b = (4;7;2), c = (6;4;2) , d = (14;18;6). Выразить небазисный вектор через базисные.

Вариант 2

1.На стороне BC треугольника ABC взята точка K так, что BK : KC =1: 4. Разложить вектор AK по векторам a = AB и b = AC .

2.Даны точки A(3;2;−1), B(−3;− 4;5), C(1;3;− 4), D(6;3;− 4). Найти:

а) координаты вектора KN , где K – середина отрезка CD , а точка N делит отрезок AB в отношении 1: 4 ;

б) проекцию вектора AB на ось, определяемую вектором CD .

3.Найти угол между диагоналями параллелограмма, построенного на век-

торах a(3;0;−3), b(1;4;1) .

4. Найти скалярное произведение векторов a = 2 p + q и b = p −3q , если

|p |=1, | q |= 2, ( p ,q) = π3 .

5.Вектор x перпендикулярен оси Ox и вектору p и образует острый угол с

, если p = (6;1;7), x = 5 2 .Oy x

6.Найти площадь треугольника с вершинами A(−3;2;1) , B(4;−1;3),

C(3;0;−1) .

7.Вычислить объем треугольной пирамиды с вершинами A(−3;2;1) ,

B(4;−1;3), C(3;0;−1), D(6;−3;5) .

8.Найти базис системы векторов a = (2;−1;11), b = (1;1;0), c = (0;1;2) , d = (2;5;6) . Выразить небазисный вектор через базисные.

Вариант 3

1. На стороне BC треугольника ABC взята точка K так, что BK : KC = 2 :1.

Разложить вектор AK по векторам a = AB и b = AC .

2. Даны точки A(2;3;−1), B(4;−1;3), C(−6;5;3), D(0;−1;3) . Найти:

а) координаты вектора KN , где K – середина отрезка AB , а точка N делит отрезок CD в отношении 2 :1;

б) проекцию вектора AB на ось, определяемую вектором CD .

77

3. Найти угол между диагоналями параллелограмма, построенного на век-

торах a(−1;−1;0), b(1;−1;2) .

C(6;3;−1) .

7.Вычислить объем треугольной пирамиды с вершинами A(0;− 2;5) ,

B(1;4;3) , C(6;3;−1), D(−1;3;5) .

8.Найти базис системы векторов a = (8;2;3), b = (4;6;10), c = (3;−2;1) , d = (7;4;11) . Выразить небазисный вектор через базисные.

Вариант 4

1. На стороне BC треугольника ABC взята точка K так, что BK : KC = 3: 2 .

Разложить вектор AK по векторам a = AB и b = AC .

2. Даны точки A(5;− 2;4), B(−1;− 4;2), C(0;3;1), D(−4;3;5). Найти:

а) координаты вектора KN , где K – середина отрезка AB , а точка N делит отрезок CD в отношении 1:3;

б) проекцию вектора AB на ось, определяемую вектором CD .

3. Найти угол между диагоналями параллелограмма, построенного на век-

торах a(5;3;2), b(1;5;−2) .

осью Oy . Найти координаты вектора x , если p = (2;5;0), x = 3.

6.Найти площадь треугольника с вершинами A(−3;− 2;1), B(0;3;−1) ,

C(2;0;1) .

7.Вычислить объем треугольной пирамиды с вершинами A(−3;− 2;1),

B(0;3;−1) , C(2;0;1), D(−4;2;3). = (10;3;1), b = (1;4;2), c = (3;9;2) ,

d = (19;30;7) . Выразить небазисный вектор через базисные.

78

Вариант 5

1. На стороне BC треугольника ABC взята точка K так, что BK : KC = 3: 4 .

Разложить вектор AK по векторам a = AB и b = AC .

2. Даны точки A(3;2;0), B(−1;− 4;2), C(4;−3;5), D(0;−3;1) . Найти:

а) координаты вектора KN , где K – середина отрезка AB , а точка N делит отрезок CD в отношении 3:1;

б) проекцию вектора AB на ось, определяемую вектором CD .

C(2;0;− 4) .

7.Вычислить объем треугольной пирамиды с вершинами A(4;5;1),

B(0;3;− 2) , C(2;0;− 4), D(−7;1;2) .

8.Найти базис системы векторов a = (2;4;1), b = (1;3;6), c = (5;3;1) , d = (24;20;6) . Выразить небазисный вектор через базисные.

Вариант 6

1.На стороне BC треугольника ABC взята точка K так, что BK : KC = 2 :5. Разложить вектор AK по векторам a = AB и b = AC .

2.Даны точки A(5;−1;−1), B(1;3;5), C(6;5;3), D(1;5;− 2). Найти:

а) координаты вектора KN , где K – середина отрезка AB , а точка N делит отрезок CD в отношении 4 :1;

б) проекцию вектора AB на ось, определяемую вектором CD .

3.Найти угол между диагоналями параллелограмма, построенного на векторах

a(2;2;0), b(−2;2;−4).

4. Найти скалярное произведение векторов a = 2 p +3q и b = p + q , если

|p |= 2 , | q |= 2, ( p ,q) = π3 .

5.Вектор x перпендикулярен оси Oy и вектору p и образует тупой угол с осью Oz . Найти координаты вектора x , если p = (3;−6;4), | x |= 30 .

79

6.Найти площадь треугольника с вершинами A(2;− 2;4) , B(3;4;1) ,

C(1;− 2;−1).

7.Вычислить объем треугольной пирамиды с вершинами A(2;− 2;4) , B(3;4;1) ,

C(1;− 2;−1), D(−1;4;−5) .

8.Найти базис системы векторов a = (1;−3;−3), b = (4;7;8), c = (9;1;3) ,

d = (2;−4;4) . Выразить небазисный вектор через базисные.

Вариант 7

1.На стороне BC треугольника ABC взята точка K так, что BK : KC = 3:5. Разложить вектор AK по векторам a = AB и b = AC .

2.Даны точки A(−5;2;− 4), B(1;− 4;2), C(0;3;4), D(5;3;4). Найти:

а) координаты вектора KN , где K – середина отрезка AB , а точка N делит отрезок CD в отношении 2:3;

б) проекцию вектора AB на ось, определяемую вектором CD .

3.Найти угол между диагоналями параллелограмма, построенного на векторах

a(5;2;3), b(−1;2;−5) .

6.Найти площадь треугольника с вершинами A(2;0;−1) , B(4;−3;1),

C(−3;5;−3) .

7.Вычислить объем треугольной пирамиды с вершинами A(2;0;−1) ,

B(4;−3;1), C(−3;5;−3), D(4;− 2;3) .

8.Найти базис системы векторов a = (3;2;2), b = (2;3;1), c = (1;1;3) , d = (5;1;11) .

Выразить небазисный вектор через базисные.

80

а) координаты вектора KN , где K – середина отрезка AB , а точка N делит отрезок CD в отношении 1:5;

б) проекцию вектора AB на ось, определяемую вектором CD .

3.Найти угол между диагоналями параллелограмма, построенного на векторах a(−6;0;6), b(−2;−8;−2) .

4. Найти скалярное произведение векторов a = p + 2q и b = −4 p + q , если

|p |=1, | q |= 2, ( p ,q) = π3 .

5.Вектор x перпендикулярен оси Oy и вектору p и образует тупой угол с

осью Oz . Найти координаты вектора x , если p = (8;12;8), x = 32 .

6.Найти площадь треугольника с вершинами A(−2;1;3) , B(4;−5;7),

C(3;6;− 4).

7.Вычислить объем треугольной пирамиды с вершинами A(−2;1;3) ,

B(4;−5;7), C(3;6;− 4), D(5;− 2;2).

8.Найти базис системы векторов a = (7;1;3), b = (−2;5;4), c = (−3;1;2) , d = (−3;14;10) . Выразить небазисный вектор через базисные.

Вариант 9

1.На стороне BC треугольника ABC взята точка K так, что BK : KC = 5:3. Разложить вектор AK по векторам a = AB и b = AC .

2.Даны точки A(−7;4;9), B(3;− 2;−5), C(−1;4;−3), D(9;4;2) . Найти:

а) координаты вектора KN , где K – середина отрезка AB , а точка N делит отрезок CD в отношении 3: 2;

б) проекцию вектора AB на ось, определяемую вектором CD .

3.Найти угол между диагоналями параллелограмма, построенного на векторах

a(2;−2;4), b(2;2;0) .

6.Найти площадь треугольника с вершинами A(7;11;−3), B(4;5;−7),

C(3;5;−1) .

7.Вычислить объем треугольной пирамиды с вершинами A(7;11;−3),

B(4;5;−7), C(3;5;−1), D(6;4;− 2) .

81

8.Найти базис системы векторов a = (1;2;4), b = (1;−1;1), c = (2;2;4) , d = (−1;−4;−2) . Выразить небазисный вектор через базисные.

Вариант 10

1.На стороне BC треугольника ABC взята точка K так, что BK : KC = 3:7 . Разложить вектор AK по векторам a = AB и b = AC .

2.Даны точки A(10;−6;1), B(−4;2;3), C(1;3;− 2), D(7;3;− 2). Найти:

а) координаты вектора KN , где K – середина отрезка AB , а точка N делит отрезок CD в отношении 5:1;

б) проекцию вектора AB на ось, определяемую вектором CD .

3.Найти угол между диагоналями параллелограмма, построенного на векторах

a(−2;5;1), b(2;3;5) .

6.Найти площадь треугольника с вершинами A(3;−5;2), B(1;− 2;1) , C(2;1;6) .

7.Вычислить объем треугольной пирамиды с вершинами A(3;−5;2),

B(1;− 2;1) , C(2;1;6), D(4;− 2;−1) .

8. Найти базис системы векторов a = (7;1;3), b = (−2;5;4), c = (−3;1;2) , d = (−3;14;10) . Выразить небазисный вектор через базисные.

82