- •Содержание
- •Глава 1. Элементы линейной алгебры
- •1.1. Матрицы и операции над ними
- •1.2. Определители квадратных матриц и их свойства. Правило Крамера решения систем линейных уравнений
- •1.3. Обратная матрица. Решение матричных уравнений
- •1.4. Ранг матрицы
- •1.7. Контрольные задания к главе 1
- •Глава 2. Элементы векторной алгебры
- •2.1. Векторы на плоскости и в пространстве
- •2.2. Проекция вектора на ось. Скалярное произведение векторов
- •2.3. Векторное и смешанное произведения векторов
- •2.5. Задачи с экономическим содержанием к главам 1, 2
- •Глава 3. Основы аналитической геометрии
- •3.1. Простейшие задачи аналитической геометрии на плоскости
- •3.2. Прямая линия на плоскости
- •3.3. Кривые второго порядка, заданные каноническими уравнениями
- •3.4. Гипербола
- •3.5. Парабола
- •3.6. Поверхность и линия в пространстве. Плоскость
- •3.7 Уравнения прямой в пространстве
- •3.9. Понятие гиперплоскости. Выпуклые множества
- •3.10. Контрольные задания к главе 3
- •Раздел II. Введение в математический анализ
- •Глава 4. Функция одной переменной
- •4.1. Функциональная зависимость и способы ее представления
- •4.2. Элементарные функции. Преобразование графиков функций
- •Глава 5. ПРЕДЕЛЫ И НЕПРЕРЫВНОСТЬ
- •5.1. Числовая последовательность
- •5.2. Предел последовательности
- •5.3. Предел функции. Раскрытие простейших неопределенностей
- •5.4. Замечательные пределы
- •5.5. Сравнение бесконечно малых
- •5.6. Односторонние пределы
- •5.7. Непрерывность и точки разрыва функции
- •5.8. Контрольные задания к главам 4, 5
- •Глава 6. Производная и дифференциал
- •6.1. Определение производной. Правила дифференцирования
- •6.2. Производная сложной функции
- •6.3 Логарифмическая производная и производная неявной функции
- •6.6. Контрольные задания к главе 6
- •Глава 7. Приложения производной
- •7.1. Теоремы о среднем значении. Формула Тейлора
- •7.2. Правило Лопиталя-Бернулли
- •7.3. Интервалы монотонности и экстремумы функции. Наибольшее, наименьшее значения функции на отрезке
- •7.4. Выпуклость (вогнутость) графика функции. Точки перегиба
- •7.5. Асимптоты. Построение графиков функций
- •7.7. Контрольные задания к главе 7
- •Примерные варианты тестовых заданий
- •Задания к главе 1
- •Задания к главе 2
- •Задания к главе 3
- •Задания к главам 4,5
- •Задания к главам 6,7
- •Ответы
- •Глава 1
- •Глава 2
- •Глава 3
- •Глава 4
- •Глава 5
- •Глава 6
- •Глава 7
- •Литература
Глава 7. Приложения производной
7.1. Теоремы о среднем значении. Формула Тейлора
Теорема Ролля. Если функция f (x): 1) непрерывна на отрезке [a; b], 2)
дифференцируема в интервале (a; b) , 3) |
f (a) = f (b) , то найдется такая точ- |
ка c (a; b) , в которой f (c) = 0 . |
|
′ |
f (x): 1) непрерывна на отрезке [a; b], |
Теорема Лагранжа. Если функция |
2) дифференцируема в интервале (a; b) , то найдется точка c (a; b) , в кото-
рой |
f (b) − f (a) = f (c)(b − a) . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
′ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Теорема Коши. Если функции y = f (x) и y = g(x) :1) непрерывны на от- |
||||||||||||||||||||||||
резке [a; b], 2) дифференцируемы в интервале (a; b) , причем g (x) ≠ 0 |
для всех |
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
′ |
|
|
x (a; b) , то найдется такая точка |
c (a; b) , в которой |
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f (b) − f (a) |
= |
|
|
f ′(c) |
. |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
g(b) − g(a) |
|
|
|
′ |
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
g (c) |
|
|
|
|||||||||
|
Формула Тейлора. Если функция |
f (x) имеет производные до (п +1)-го |
|||||||||||||||||||||||
порядка включительно в интервале (x0 −ε, x0 +ε), |
ε > 0, то для всех х |
из это- |
|||||||||||||||||||||||
го интервала справедлива формула Тейлора (порядка п) |
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
f (x) = f (x0 ) + |
f ′(x0 ) |
(x − x0 ) + |
|
f ′′(x0 ) |
(x − x0 )2 +... + |
|
|
||||||||||||||||
|
|
2! |
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
+ |
f (n) (x0 ) |
(x − x |
0 |
)n |
+ R |
(x), |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
n! |
|
|
|
|
|
|
|
n+1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
где |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f (n+1) (ξ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
R |
(x) = |
(x − x |
0 |
)n+1, |
|
ξ (x |
0 |
−ε, |
x |
0 |
|
+ε) – |
остаточный член |
в |
форме |
||||||||||
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
n+1 |
|
(n +1)! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Лагранжа. Формула Тейлора в точке x0 = 0 называется формулой Маклорена.
Пример 7.1. Выяснить, удовлетворяет ли функция y = x2 + x −3 условиям теоремы Лагранжа на отрезке [− 2; 2]. Если да, то найти точку с отрезка, в которой выполняется теорема.
Р е ш е н и е. Так как функция y = x2 + x −3 непрерывна и дифференцируема на всей числовой прямой, к ней применима теорема Лагранжа на любом
отрезке. |
′ |
y(2) = |
3, y(−2) = −1. По теореме |
Лагранжа |
найдется |
|||||||
y (x) = 2x +1, |
||||||||||||
|
|
|
|
′ |
|
|
y(2) − y(−2) |
= |
3 +1 |
=1. |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 −(−2) |
4 |
|
|
|||
точка c (−2;2) такая, что y (c) = 2c +1 = |
|
|
|
|||||||||
Отсюда получим с = 0. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
Пример 7.2. Написать |
формулу |
Тейлора 2-го |
порядка для |
функции |
|||||||
y = |
x |
|
в точке x0 = 2 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x −1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
233
|
|
|
Р е ш е н и е. |
Найдем |
y′(x) = − |
1 |
; y′′(x) = 2(x −1) |
−3 |
. Найдем значе- |
||||||
|
|
|
(x −1)2 |
|
|||||||||||
ния |
|
|
′ |
|
′′ |
′ |
|
′′ |
|
|
|
|
|||
|
y(2), y (2) и |
|
y (2). y(2) |
= 2; y (2) = −1; |
y (2) = 2 . Подставляя полученные |
||||||||||
значения в формулу Тейлора, получим |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
x |
= 2 −(x − 2) + 2(x − 2)2 + R (x), |
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
x −1 |
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
y′′′(ξ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
где |
R (x) = |
(x − 2)3 – остаточный член в форме Лагранжа, ξ (x |
0 |
; x) . |
|||||||||||
|
|||||||||||||||
|
|
|
3 |
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Задачи для самостоятельного решения
7.1.Написать формулу Лагранжа для функции y = x на отрезке [1; 4] и найти значение с.
7.2.Применима ли теорема Ролля к функции y =1− 3x2 на отрезке [−1; 1] ?
7.3.Выяснить, применима ли теорема Ролля к функции y = x2 −5x + 7 на отрез-
ке [1; 4].
7.4.Проверить справедливость теоремы Ролля для функции y = lnsin x на отрезке π ; 5π .
6 6
7.5.Написать формулу Лагранжа и найти соответствующее значение с для функций а) y = ln x на отрезке [1;2]; б) y = arcsin x на отрезке [0;1].
7.6. Написать формулу Коши и найти соответствующее значение с для фун к-
ций а) y = sin x и y = cos x на отрезке |
|
π |
|
|
|
|
2 |
на отрез- |
|
|
|
|
|||||||
0; |
2 |
; б) y = x и y = x |
|
||||||
ке [1;4]. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
7.7. В какой точке касательная к графику функции |
y = 4 − x2 параллельна хор- |
||||||||
де, соединяющей точки A(−2; 0) |
и B(1; 3) . |
|
|
|
|
|
|
||
7.8. Написать формулу Лагранжа |
для |
функции |
y = arcsin(2x) на |
отрезке |
|||||
[x0 ; x0 + ∆x]. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
7.9.Показать, что уравнение x3 −3x +1 = 0 не может иметь двух различных корней в интервале (0; 1).
7.10.Написать формулу Тейлора 3-го порядка для функции
y = 2x3 −3x2 + 5x +1 в точке x0 = −1.
7.11. Для многочлена x4 + 4x2 − x +3 написать формулу Тейлора 2-го порядка
в точке x0 =1.
7.12. Написать формулу Маклорена 3-го порядка для функции y = arcsin x . 7.13. Написать формулу Маклорена 4-го порядка для функций
а) y = ex ; б) y = sin x; в) y = cos x; г) y = ln(1+ x); д) y = (1+ x)−2 .
234
7.14. Используя разложение по формуле Маклорена, вычислить пределы:
|
|
|
|
а) |
lim |
1−cos x |
; |
б) |
lim |
|
ex −1− x |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
x2 + x3 |
|
|
|
|
2x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
x→0 |
|
|
|
x→0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
7.2. Правило Лопиталя-Бернулли |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
Если при вычислении предела вида lim |
|
f (x) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
g(x) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
→a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
пределы lim |
f (x) = lim g(x) = 0, т.е. имеет место неопределенность вида |
0 |
, |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x→a |
|
|
|
|
|
x→a |
|
f ′(x) |
|
|
|
|
|
|
|
f (x) |
|
|
|
f ′(x) |
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|||||||||
но при этом существует |
lim |
, то |
|
|
lim |
= |
lim |
. |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x→a |
|
|
′ |
|
|
x→a |
g(x) |
x→a |
g |
′ |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
g (x) |
|
|
|
|
|
|
|
(x) |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
Аналогичным образом, |
если lim |
f (x) = lim g(x) = ∞, |
т.е. имеет место не- |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x→a |
|
|
|
|
|
x→a |
|
|
|
|
f ′(x) |
|
|
|
|
|
|||||||
определенность вида ∞ , но при этом существует |
lim |
|
, то |
lim |
|
f (x) |
= |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
′ |
|
|
g(x) |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x→a |
g (x) |
x→a |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
lim |
|
|
f ′(x) |
. |
Неопределенность вида 0 ∞, ∞ − ∞, 1∞ , 00 |
сводятся к неопределен- |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
′ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x→a |
|
g (x) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
или |
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
ностям |
0 |
|
|
|
∞ |
путем алгебраических преобразований. |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
Пример 7.3. Найти предел lim |
|
ex |
−1 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x→0 sin 2x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
Р е ш е н и е. |
|
Так как lim (ex −1) = lim sin 2x = 0, имеем неопределенность |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x→0 |
|
|
|
|
x→0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
вида |
0 |
|
. Применим правило Лопиталя-Бернулли. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
lim |
|
|
ex |
|
−1 |
|
= lim |
|
(ex −1)′ |
= lim |
|
ex |
|
= |
1 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
sin 2x |
(sin 2x)′ |
|
2cos 2x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
x→0 |
|
|
|
x→0 |
x→0 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
Пример 7.4. Найти предел lim |
|
x2 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x→∞ ex |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
Р е ш е н и е. Так как |
|
|
lim x2 = lim ex = ∞, |
имеем неопределенность вида |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x→∞ |
|
|
x→∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
∞ |
. Применим правило Лопиталя-Бернулли. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
x2 |
|
|
|
|
|
2x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
||||||
lim |
|
|
|
|
|
= lim |
ex |
|
= (так как неопределенность вида |
|
сохраняется, еще раз |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
x→∞ ex |
|
|
|
x |
→∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
используем правило Лопиталя) = lim |
|
|
= 0 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x→∞ ex |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
235
|
|
|
|
|
Пример 7.5. Найти предел |
lim x ln x . |
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x→0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Р е ш е н и е. |
|
В данном примере имеется неопределенность в ида 0 ∞. В |
||||||||||||
таких случаях произведение функций |
f (x) g(x) представляют в виде дроби |
||||||||||||||||||
|
f (x) |
|
|
g(x) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|||||
|
|
|
|
|
|
или |
|
|
|
|
; после чего неопределенность приобретает вид |
|
или |
||||||
1 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|||||||||||
g(x) |
f (x) |
|
|
|
|
|
|
|
0 |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
1x |
|
|
|
|
|||||||||
∞ |
|
. Тогда |
lim x |
ln x = lim ln x |
= lim |
|
|
= −lim x = 0 . |
|
|
|||||||||
|
1 |
|
|
||||||||||||||||
∞ |
|
|
|
|
x→0 |
|
|
x→0 1 |
x |
x→0 − |
|
x→0 |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
Пример 7.6. Найти предел |
|
|
1 |
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
lim(cos x) x . |
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x→0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Р е ш е н и е. |
|
В данном примере имеется неопределенность вида 1∞ . В та- |
ких случаях, а также в случаях неопределенности вида 00 и ∞0 необходимо пре-
дел искомой функции y = f (x)g (x) выразить через предел функции z = ln y . Так |
|
lim |
z |
как y = ez , lim y = ex→x0 |
, а |
x→x0 |
|
lim z = lim ln y = lim g(x) ln f (x) . Последний предел представляет собой не- |
||||||||||||||||||||||||||||
x→x0 |
x→x0 |
|
x→x0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
∞ |
|
|||||
определенность вида 0 ∞ и сводится к неопределенности |
0 |
|
или |
∞ |
. |
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
1 |
ln cos x = ln cos x ; |
|
|
|
|
|
|||||
|
В данном примере Z = ln y = ln(cos x) x = |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
lim ln cos x = 0 = lim |
(ln cos x)′ = lim −tgx = 0. |
x |
|
|
z |
|
x |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
lim y = ex→0 |
= e0 =1. |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x→0 |
x |
|
|
|
|
0 x→0 |
(x)′ |
|
x→0 1 |
|
|
|
x→0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Задачи для самостоятельного решения |
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
Найти пределы. |
|
|
ex − e2x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
7.16. |
lim |
|
|
x −3 |
; |
|
|
7.17. |
lim |
; |
|
|
|
7.18. |
lim |
1−cos x |
|
; |
||||||||||
|
x4 −81 |
|
|
sin x |
|
|
|
|
1− cos 4x |
|||||||||||||||||||
|
x→3 |
|
|
|
|
|
x→0 |
|
|
|
|
|
|
x→0 |
|
|
||||||||||||
7.19. |
|
1 |
− cos 4x |
|
7.20. |
|
x3 −3x2 + x + |
1 |
|
7.21. |
|
|
|
3x − 2x |
|
|
|
|||||||||||
lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
; |
lim |
|
|
|
|
|
; |
lim |
|
|
; |
|
|
|
|||||
|
|
|
2x2 |
|
|
x4 + x3 − 2 |
|
|
tgx |
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
x→0 |
|
|
|
|
|
|
|
x→1 |
|
|
|
|
x→0 |
|
|
|
|
|
|||||||||
7.22. |
lim 1− 2sin x ; |
7.23. |
lim |
x cos x −sin x |
; |
|
7.24. |
lim |
x − arctgx |
; |
||||||||||||||||||
|
3 |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
π |
|
|
|
cos3x |
|
|
|
x→0 |
2x |
|
|
|
|
|
x→0 |
2x |
3 |
|
|
|
|||||||
|
x→6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
3 |
|
|
−3 |
|
|
|
|
|
ex −e−x − 2x |
|
|
|
|
|
|
|
5x −3x |
|
|
|
||||||
7.25. |
|
|
x |
2 |
|
|
7.26. |
|
|
|
|
7.27. |
|
|
|
|
|
|
||||||||||
lim |
|
|
|
|
|
|
|
; |
lim |
x −sin x |
; |
|
|
lim |
sin 2x |
; |
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
x→2 |
|
|
|
x − |
2 |
|
|
|
x→0 |
|
|
|
|
x→0 |
|
|
|
|
236