1.4. Ранг матрицы

Рассмотрим прямоугольную матрицу Am×n. Пусть k – натуральное число, удовлетворяющее неравенству k ≤ min(m,n). Выберем в матрице А произволь-

ным образом k строк с номерами i1,i2 , ,ik , где 1≤ i1 <i2 < < ik ≤ m, и k столбцов с номерами jk , j2 , , jk ,где 1≤ j1 < j2 < < jk ≤ n. Из элементов, стоящих на пересечении выбранных k строк и k столбцов, составим определитель k-го

ры третьего порядка данной матрицы равны нулю. Таким образом, в матрице А существует минор 2-го порядка, отличный от нуля (например M 1,3, 24 ), а все ми-

норы третьего порядка равны нулю.

Определение. Рангом матрицы называется наивысший порядок отличных от нуля миноров этой матрицы.

Из этого определения вытекает, что если ранг матрицы равен r, то среди миноров этой матрицы есть, по крайней мере, один минор r-го порядка, отличный от нуля (его будем называть базисным минором), а все миноры порядка r +1и выше равны нулю. Ранг матрицы А обозначается r(A). По определению,

ранг нулевой матрицы О равен нулю; тогда ранг r(A) произвольной матрицы Am×n удовлетворяет неравенству 0 ≤ r(A) ≤ min(m,n).

Поскольку вычислять ранг матрицы по определению достаточно трудоемко, то с помощью элементарных преобразований матрицу приводят к такому виду, из которого ранг матрицы очевиден.

Элементарные преобразования.

Вычисление ранга матрицы с помощью элементарных преобразований

Элементарными преобразованиями матрицы называются:

1.Транспонирование.

2.Перемена местами двух строк или двух столбцов.

3.Умножение всех элементов строки или столбца на число с, отличное от нуля.

* Здесь через Ck обозначено число сочетаний из n элементов по k элементов: Ck = n(n −1) (n −k +1) . n n 1 2 k

29

4. Прибавление ко всем элементам строки или столбца соответствующих элементов другой строки или столбца, умноженных на одно и то же число.

Теорема. Элементарные преобразования не меняют ранг матрицы.

Отметим, что с помощью элементарных преобразований любую матрицу А можно привести к виду

где на главной диагонали стоят r единиц, а все остальные элементы матрицы равны нулю. Ясно, что ранг такой матрицы равен r, тогда по теореме ранг матрицы А равен r.

Пример 1.12. Вычислить ранг матрицы А с помощью элементарных пре-

Р е ш е н и е. Вычитая утроенную первую строку из третьей, а затем вт о- рую строку из третьей, получим:

где знаком обозначено, что соединяемые им матрицы имеют один и тот же ранг.

Вычитая теперь из второго столбца удвоенный первый, а из третьего

Наконец, из третьего столбца вычтем удвоенный второй, а к четвертому столбцу прибавим второй, в результате чего матрица приведется к виду (1.6):

30

Замечание. При вычислении ранга матрицы с помощью элементарных преобразований не обязательно получать вид (1.6), достаточно привести матрицу к трапециевидной форме, количество ненулевых строк в которой равно рангу матрицы.

Задачи для самостоятельного решения

1.57.В каком случае ранг квадратной матрицы n-го порядка равен n?

1.58.Пусть в матрице A20×70 существует отличный от нуля минор порядка

10, а все миноры порядка 11 равны нулю. Чему равен ранг матрицы А? 1.59. Найти ранг r матрицы и указать один из базисных миноров:

1.60. Найти ранг матрицы методом окаймляющих миноров:

31

1.61. Найти ранг матрицы с помощью элементарных преобразований:

32

1.69. Проверить справедливость неравенств r(A + B) ≤ r(A) + r(B), если:

33

наименьший ранг. Чему равен ранг при найденных значениях λ и чему он равен при других значениях λ?

1.5.Система m линейных уравнений с n неизвестными

Системой m линейных уравнений с n неизвестными (переменными) называется система вида:

тельные числа, называемые коэффициентами системы; bi (j =1,m)−заданные

действительные числа, называемые свободными членами.

Решением системы (1.8) называется такой упорядоченный набор значений неизвестных (x10 , x20 , , xn0 ), при подстановке которых в систему (1.8) все

34

ного значения i(i =1,n) равенство xi0 = xi1 не выполняется. Система (1.8) назы-

вается совместной (разрешимой), если она имеет хотя бы одно решение. В противном случае система называется несовместной (неразрешимой). Совместная система называется определенной, если она имеет единственное решение, и неопределенной, если она имеет более одного решения.

Если ввести матрицу А, составленную из коэффициентов при неизвест-

получаемая из матрицы А добавлением в ней справа столбца свободных членов. Критерием совместности системы (1.8) является теорема КронекераКапелли: для совместности системы (1.8) необходимо и достаточно, чтобы ранг

матрицы А равнялся рангу расширенной матрицы A.

При выполнении этого условия, если r(A) = r(A) = r то в случае r = n си-

стема (1.8) является определенной (имеет единственное решение), а в случае r < n −неопределенной.

Метод Гаусса применяется для решения систем m линейных уравнений с n неизвестными, заданной в общем виде (1.8). Этот метод иначе называют методом последовательного исключения неизвестных.

Элементарными преобразованиями системы (1.8) называются:

1)перемена местами любых двух уравнений системы;

2)умножение обеих частей какого-либо уравнения системы на число λ ≠ 0;

35

3)прибавление к одному из уравнений другого уравнения, умноженного на произвольное число λ;

4)удаление из системы уравнения вида 0 x1 + 0 x2 + + 0 xn = 0.

Можно доказать, что элементарные преобразования системы (1.8) приводят к системе, равносильной (эквивалентной) исходной.

Метод Гаусса состоит из двух частей: прямого и обратного хода. В результате прямого хода система приводится к равносильной системе ступенчатого или треугольного вида с помощью элементарных преобразований (если при этом процессе не обнаружится несовместность системы). Второй этап решения задачи, называемый обратным ходом, состоит в последовательном нахождении значений неизвестных xn , xn−1, , x1 из полученной в результате прямого хода

системы ступенчатого или треугольного вида вида.

Решение системы методом Гаусса обычно осуществляют, работая с расширенной матрицей коэффициентов системы, в которой каждой строке соответствует уравнение исходной системы.

Пример 1.13. Решить систему уравнений методом Гаусса:

Р е ш е н и е. Переставив первое и третье уравнения системы, получим расширенную матрицу вида

Так как a11 =1 ≠ 0, то с помощью первого уравнения исключим x1 из всех

остальных уравнений, для чего первую строку матрицы (1.10) умножим на (–2) и сложим с третьей, а затем вычтем первую строку из четвертой. Получим

Поскольку в новой матрице (1.11) a22′ ≠ 0, то теперь с помощью второго уравнения исключим x2 из третьего и четвертого уравнений, для чего от треть-

ей строки вычтем вторую, умноженную на 3, и из четвертой строки вычтем вторую, умноженную также на 3. Получим матрицу вида

36

В матрице (1.12) a33′ ≠ 0, следовательно, с помощью третьего уравнения можно исключить x3 из четвертого уравнения, для чего из четвертой строки

матрицы (1.12) вычтем третью, умноженную на 3. В результате придем к ма т- рице

Такая система имеет единственное решение, которое находится с помощью обратного хода. Двигаясь от последнего уравнения к первому, получим:

О т в е т: x1 = 237 , x2 = −72 , x3 = 127 , x4 = −87 .

Существуют различные методы приведения матрицы к ступенчатому виду. Для ручного счета удобны правила исключения Гаусса, реализуемые с помощью так называемого «разрешающего элемента», который при вычислениях заключается в рамку и всегда должен быть отличен от нуля. Первый шаг (исключение неизвестной x1) прямого хода выполняется с разрешающим элемен-

37

ai′2 = 0 (i = 2,m), то пытаемся исключить неизвестную x3 и т.д.). Пересчет элементов матрицы выполняется по следующим правилам:

1)элементы разрешающей строки и всех вышерасположенных строк остаются неизменными;

2)элементы разрешающего столбца, находящиеся ниже разрешающего элемента, обращаются в нули;

3)все прочие элементы матрицы вычисляются по правилу прямоугольника: преобразованный элемент aij′ новой матрицы равен разности произведений элементов главной и побочной диагоналей.

aij′ = aks aij − ais akj .

Здесь aks – разрешающий элемент, aks , aij −главная диагональ, ais , akj −побочная диагональ.

Пример 1.14. Решить систему уравнений

Р е ш е н и е. Запишем расширенную матрицу системы:

33 –2 2 6

Элемент a11 = 2 ≠ 0 принимаем за разрешающий. Первую строку составляем без изменения, элементы первого (разрешающего) столбца заполняем нулями, а остальные элементы вычисляем по правилу прямоугольника:

38

В полученной матрице элементы второй и третьей строки разделим на 2.

На втором шаге разрешающим является элемент а22′ = −1 ≠ 0. Первые две

строки и первый столбец переписываем без изменения, под разрешающим элементом записываем нули, а остальные элементы вычисляем по правилу прямоугольника: