![](/user_photo/2706_HbeT2.jpg)
- •Содержание
- •Глава 1. Элементы линейной алгебры
- •1.1. Матрицы и операции над ними
- •1.2. Определители квадратных матриц и их свойства. Правило Крамера решения систем линейных уравнений
- •1.3. Обратная матрица. Решение матричных уравнений
- •1.4. Ранг матрицы
- •1.7. Контрольные задания к главе 1
- •Глава 2. Элементы векторной алгебры
- •2.1. Векторы на плоскости и в пространстве
- •2.2. Проекция вектора на ось. Скалярное произведение векторов
- •2.3. Векторное и смешанное произведения векторов
- •2.5. Задачи с экономическим содержанием к главам 1, 2
- •Глава 3. Основы аналитической геометрии
- •3.1. Простейшие задачи аналитической геометрии на плоскости
- •3.2. Прямая линия на плоскости
- •3.3. Кривые второго порядка, заданные каноническими уравнениями
- •3.4. Гипербола
- •3.5. Парабола
- •3.6. Поверхность и линия в пространстве. Плоскость
- •3.7 Уравнения прямой в пространстве
- •3.9. Понятие гиперплоскости. Выпуклые множества
- •3.10. Контрольные задания к главе 3
- •Раздел II. Введение в математический анализ
- •Глава 4. Функция одной переменной
- •4.1. Функциональная зависимость и способы ее представления
- •4.2. Элементарные функции. Преобразование графиков функций
- •Глава 5. ПРЕДЕЛЫ И НЕПРЕРЫВНОСТЬ
- •5.1. Числовая последовательность
- •5.2. Предел последовательности
- •5.3. Предел функции. Раскрытие простейших неопределенностей
- •5.4. Замечательные пределы
- •5.5. Сравнение бесконечно малых
- •5.6. Односторонние пределы
- •5.7. Непрерывность и точки разрыва функции
- •5.8. Контрольные задания к главам 4, 5
- •Глава 6. Производная и дифференциал
- •6.1. Определение производной. Правила дифференцирования
- •6.2. Производная сложной функции
- •6.3 Логарифмическая производная и производная неявной функции
- •6.6. Контрольные задания к главе 6
- •Глава 7. Приложения производной
- •7.1. Теоремы о среднем значении. Формула Тейлора
- •7.2. Правило Лопиталя-Бернулли
- •7.3. Интервалы монотонности и экстремумы функции. Наибольшее, наименьшее значения функции на отрезке
- •7.4. Выпуклость (вогнутость) графика функции. Точки перегиба
- •7.5. Асимптоты. Построение графиков функций
- •7.7. Контрольные задания к главе 7
- •Примерные варианты тестовых заданий
- •Задания к главе 1
- •Задания к главе 2
- •Задания к главе 3
- •Задания к главам 4,5
- •Задания к главам 6,7
- •Ответы
- •Глава 1
- •Глава 2
- •Глава 3
- •Глава 4
- •Глава 5
- •Глава 6
- •Глава 7
- •Литература
![](/html/2706/959/html_8A0vrZYZHT.tAok/htmlconvd-clCiVg168x1.jpg)
4.2. Элементарные функции. Преобразование графиков функций
Напомним, что графиком функции f (x) в декартовой прямоугольной системе координат Oxy называется множество всех точек плоскости с координа-
тами (x, f (x)).
Часто график функции y = f (x) можно построить с помощью преобразований (сдвиг, растяжение) графика некоторой уже известной функции.
В частности, из графика функции y = f (x) |
получается график функции: |
|||
1) y = f (x) + a – сдвигом вдоль оси Oy на |
|
a |
|
единиц (вверх, если a > 0 , |
|
|
|||
и вниз, если a < 0; |
|
|
|
|
2) |
y = f (x −b) – сдвигом вдоль оси Ox на |
|
b |
|
единиц (вправо, если |
|
|
||||
b > 0, и |
влево, если b < 0 ; |
|
|
|
|
3)y = kf (x) – растяжением вдоль оси Oy в k раз;
4)y = f (mx) – сжатием по оси Ox в m раз;
5)y = − f (x) – симметричным отражением относительно оси Ox ;
6)y = f (−x) – симметричным отражением относительно оси Oy ;
7)y = f (x) , следующим образом: часть графика, расположенная не ни-
же оси Ox , остается без изменений, а «нижняя» часть графика симметрично отражается относительно оси Ox ;
8) y = f ( x ) , следующим образом: правая часть графика (при x ≥ 0)
остается без изменений, а вместо «левой» строится симметричное отражение «правой» относительно оси Oy .
Основными элементарными функциями называются:
1)постоянная функция y = c ;
2)степенная функция y = xα , α R ;
3)показательная функция y = ax , a ≠ 0,a ≠1;
4)логарифмическая функция y = loga x, a > 0,a ≠1;
5)тригонометрические функции y = sin x , y = cos x, y = tg x ,
y = ctg x , y = sec x (где sec x = cos1 x ), y = cosec x (где cosec x = sin1 x );
6) обратные тригонометрические функции y = arcsin x, y = arccos x, y = arctg x, y = arcctg x .
168
![](/html/2706/959/html_8A0vrZYZHT.tAok/htmlconvd-clCiVg169x1.jpg)
Элементарными функциями называются функции, полученные из основных элементарных функций с помощью конечного числа арифметических опе-
раций (+, − , , ÷) и композиций (т.е. образования сложных функций f g ). Пример 4.6. Построить график функции
1) y = x2 +6x +7 ; 2) y = −2sin 4x.
Ре шен и е : 1) путем выделения полного квадрата функция преобразуется
квиду y = (x +3)2 −2, поэтому график данной функции можно получить из
графика функции y = x2 . Достаточно сначала сместить параболу y = x2 на три единицы влево (получим график функции y = (x +3)2 ), а затем на две единицы вниз (рис. 4.1);
|
|
|
|
|
|
Рис. 4.1 |
|
|
|
|
|
2) сжав стандартную синусоиду y = sin x в четыре раза по оси Ox , полу- |
|||||||||||
чим график функции y = sin 4x (рис. 4.2). |
|
|
|
|
|
||||||
|
у |
|
|
|
|
|
|
|
|
y=sin4x |
|
|
1 • |
|
|
• |
|
|
|
|
|||
|
0 • |
|
|
|
|
|
|
y=sinx |
|||
• |
• |
π |
• |
π |
• |
• |
2π |
|
х |
||
|
|
π |
|
|
π |
|
|
||||
|
8 |
|
4 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
• |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рис.4.2 |
|
|
|
|
|
169
![](/html/2706/959/html_8A0vrZYZHT.tAok/htmlconvd-clCiVg170x1.jpg)
Растянув полученный график в два раза вдоль оси Oy , получим график функции y = 2sin 4x (рис. 4.3). Осталось отразить последний график относительно оси Ox . Результатом будет искомый график (см. рис. 4.3).
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 • |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 • |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y= 2sin4x |
|
• • • • |
0 |
|
• |
• |
• • |
• • |
• • |
2π |
x |
|
|
π |
π |
π |
π |
|
|||
|
|
|
8 |
4 |
2 |
|
|
y=– 2sin4x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рис.4.3
Задачи для самостоятельного решения
Построить графики следующих функции, исходя из графиков основных элементарных функций:
4.16. а) |
y = x2 −6x +11; |
б) |
y = 3 −2x − x2 . |
||||||||||||||||||||||
4.17. а) |
y = −2sin(x −π) ; |
б) |
y = 2cos |
x |
. |
|
|
||||||||||||||||||
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
||||
4.18. а) y = − 4 −1; |
б) |
y = 2 + |
5 |
|
. |
||||||||||||||||||||
x + 2 |
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
4.19. а) |
y = log2 (−x) ; |
б) |
y = ln(1− x) . |
|
|||||||||||||||||||||
4.20. a) |
y = |
|
x +5 |
|
; |
б) |
y = |
|
|
|
x |
|
3 . |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
4.21. а) |
y = tg |
|
x |
|
; |
б) |
y = |
|
tg x |
|
. |
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
4.22. а) |
y = signx ; |
б) |
y = sign(cosx) . |
170
4.23. а) |
y = |
x + 4 |
|
; |
|
|
|
|
|
б) |
y = |
|
2x +3 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
x + 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x −1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
4.24. а) |
y = sin(3x −2) + 2; |
|
|
|
|
|
б) |
y = arcsin(x −1) . |
|
|
|
|||||||||||||||||||
4.25. а) |
y = e2−x ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
б) |
y = 3x+2 −3. |
|
|
|
||||||||||||||||
4.26. а) |
y = sin2 x ; |
|
|
|
|
|
б) |
y = |
|
sin x cos x |
|
. |
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
4.27. а) |
y =[x]; |
|
|
|
|
|
|
|
|
б) |
y ={x}= x −[x] – дробная часть числа x . |
|||||||||||||||||||
4.28. а) |
y = |
3 − x при x < 3, |
|
|
|
|
|
|
|
0 при x < |
0, |
|
|
|||||||||||||||||
|
2x2 |
при x ≥ 3; |
|
|
|
|
|
б) y = |
|
при x ≥ 0; |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
e−2 x |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
π |
|
π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
при x − |
|
; |
|
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
x +3 |
|
|
при x < 0, |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
4.29. а) |
y = |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
2 |
|
; б) |
y = |
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
2 |
|
|
π |
|
π |
|
|
|
|
|
3 − x |
|
при x ≥ 0. |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
x при x − |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
cos |
|
|
2 |
; |
2 |
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
4.30. а) |
y = cos x +sin x ; |
|
|
|
|
|
|
|
б) |
y = |
|
tg x −ctg x |
|
. |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
171