- •Содержание
- •Глава 1. Элементы линейной алгебры
- •1.1. Матрицы и операции над ними
- •1.2. Определители квадратных матриц и их свойства. Правило Крамера решения систем линейных уравнений
- •1.3. Обратная матрица. Решение матричных уравнений
- •1.4. Ранг матрицы
- •1.7. Контрольные задания к главе 1
- •Глава 2. Элементы векторной алгебры
- •2.1. Векторы на плоскости и в пространстве
- •2.2. Проекция вектора на ось. Скалярное произведение векторов
- •2.3. Векторное и смешанное произведения векторов
- •2.5. Задачи с экономическим содержанием к главам 1, 2
- •Глава 3. Основы аналитической геометрии
- •3.1. Простейшие задачи аналитической геометрии на плоскости
- •3.2. Прямая линия на плоскости
- •3.3. Кривые второго порядка, заданные каноническими уравнениями
- •3.4. Гипербола
- •3.5. Парабола
- •3.6. Поверхность и линия в пространстве. Плоскость
- •3.7 Уравнения прямой в пространстве
- •3.9. Понятие гиперплоскости. Выпуклые множества
- •3.10. Контрольные задания к главе 3
- •Раздел II. Введение в математический анализ
- •Глава 4. Функция одной переменной
- •4.1. Функциональная зависимость и способы ее представления
- •4.2. Элементарные функции. Преобразование графиков функций
- •Глава 5. ПРЕДЕЛЫ И НЕПРЕРЫВНОСТЬ
- •5.1. Числовая последовательность
- •5.2. Предел последовательности
- •5.3. Предел функции. Раскрытие простейших неопределенностей
- •5.4. Замечательные пределы
- •5.5. Сравнение бесконечно малых
- •5.6. Односторонние пределы
- •5.7. Непрерывность и точки разрыва функции
- •5.8. Контрольные задания к главам 4, 5
- •Глава 6. Производная и дифференциал
- •6.1. Определение производной. Правила дифференцирования
- •6.2. Производная сложной функции
- •6.3 Логарифмическая производная и производная неявной функции
- •6.6. Контрольные задания к главе 6
- •Глава 7. Приложения производной
- •7.1. Теоремы о среднем значении. Формула Тейлора
- •7.2. Правило Лопиталя-Бернулли
- •7.3. Интервалы монотонности и экстремумы функции. Наибольшее, наименьшее значения функции на отрезке
- •7.4. Выпуклость (вогнутость) графика функции. Точки перегиба
- •7.5. Асимптоты. Построение графиков функций
- •7.7. Контрольные задания к главе 7
- •Примерные варианты тестовых заданий
- •Задания к главе 1
- •Задания к главе 2
- •Задания к главе 3
- •Задания к главам 4,5
- •Задания к главам 6,7
- •Ответы
- •Глава 1
- •Глава 2
- •Глава 3
- •Глава 4
- •Глава 5
- •Глава 6
- •Глава 7
- •Литература
n +1 |
n |
2n |
+3 n+1 |
||||
5.33. lim |
. |
5.34. lim |
2n |
|
|
. |
|
n→∞ n −1 |
|
n→∞ |
+1 |
||||
n −1 n+2 |
n2 |
−1 |
n4 |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
5.35. lim |
. |
|
2 |
|
|||
5.36. lim |
|
|
. |
||||
n→∞ n +3 |
n→∞ |
n |
|
|
|
5.3. Предел функции. Раскрытие простейших неопределенностей
Определение предела функции в точке. Пусть функция y = f (x)
определена в некоторой ε -окрестности точки x0 , кроме, быть может, самой точки x0 (в этом случае говорят, что функция определена в проколотой ε -окрестности точки x0 ).
Первое определение предела функции (по Коши, или «на языке ε −δ ») выглядит так.
Число A называется пределом функции f (x), при x → x0 (или в точке
x0 ), если для любого сколь угодно малого положительного числа |
ε найдется |
такое число δ > 0 (вообще говоря, зависящее от ε ), что для всех |
x таких, что |
x − x0 <δ , x ≠ x0 выполнено неравенство f (x) − A <ε .
Обозначается это так: lim f (x) = A или f (x) → A при x → x0 .
x→x0
Первое определение предела функции равносильно второму определению
(по Гейне, или «на языке последовательностей»), которое выглядит так.
Число A называется пределом функции f (x), при x → x0 (или в точке x0 ), если для всякой последовательности {xn } значений аргумента, стремящейся к x0 и такой, что xn ≠ x0 для любого n, соответствующая последовательность значений функции {f (xn )}сходится к A .
Пример 5.8. 1. Доказать, пользуясь определением по Коши, что число A = 7 является пределом функции y = 2x +1 при x →3.
2. Доказать, пользуясь определением по Гейне, что число A = 3 является
пределом функции f (x) = x2 − x −2 при x → 2 . x −2
183
Р е ш е н и е : 1) рассмотрим произвольное ε > 0 . Требуется найти для него такое число δ > 0 , что для всех x , таких, что x −3 <δ , x ≠ 3, было бы выпол-
нено неравенство |
|
f (x) −7 |
|
= |
|
2x +1−7 |
|
<ε . |
|
|
|
|
|
ε |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
Последнее неравенство приводится к виду |
|
2x −6 |
|
<ε |
или |
|
x −3 |
|
< |
. Та- |
|||||||||
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ким образом, если принять δ = ε , то выполнены все условия определения пре- |
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
дела по Коши. Это и значит, что lim(2x +1) = 7 ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x→3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2) пусть {xn } – произвольная |
последовательность, |
такая, |
что lim xn = 2 |
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n→∞ |
|
и xn ≠ 2 для любого n. Тогда lim f (xn ) = lim |
xn |
2 − xn −2 |
|
= lim |
(xn +1)(xn −2) |
. |
|||||||||||||||||||||
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n→∞ |
|
n→∞ |
|
xn −2 |
|
|
|
n→∞ |
xn −2 |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
Далее, так как xn ≠ 2 , |
|
xn −2 ≠ 0, то мы имеем право сократить дробь на |
|||||||||||||||||||||||
xn −2: lim |
(xn +1)(xn −2) |
|
= lim(xn +1) = lim xn +1 = 2 +1 = 3. |
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
n→∞ |
xn |
−2 |
|
n→∞ |
n→∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
Согласно определению предела функции по Гейне, это и значит, что |
|||||||||||||||||||||||||
lim |
x2 |
− x −2 |
= 3. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
x −2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
x→2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f (x) = sin 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
Пример 5.9. Доказать, что функция |
не имеет предела в точ- |
||||||||||||||||||||||||
ке x0 |
= 0 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
Р е шен и е . |
Воспользуемся определением предела функции в точке по |
||||||||||||||||||||||||
Гейне. |
Рассмотрим |
последовательность |
xn′ = |
|
|
1 |
|
|
. |
Тогда |
lim xn′ = 0 и |
||||||||||||||||
|
π |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ 2πn |
|
|
n→∞ |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
= lim sin(π + 2πn) = lim 1 =1. |
|||||||||
xn′ ≠ 0 |
для всякого |
n N . |
|
При этом lim |
f (xn′ ) |
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n→∞ |
|
|
n→∞ |
2 |
|
n→∞ |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
′ |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
′ |
|
|
||
Если же выбрать последовательность xn′ |
= |
|
|
|
|
|
|
( xn′ ≠ 0для всех n N ), |
|||||||||||||||||||
3π |
+ 2πn |
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
которая также является бесконечно малой, то |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
lim f (xn′′) = |
lim sin( |
3π |
|
+ 2πn) |
= lim (−1) = −1. |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
n→∞ |
|
n→∞ |
2 |
|
|
n→∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
′′ |
|
Таким образом, мы нашли две различные последовательности {xn′} и |
|||||||||||||||||||||||||
|
сходящиеся к числу |
x0 = 0, |
для которых соответствующие последова- |
||||||||||||||||||||||||
{xn }, |
|||||||||||||||||||||||||||
тельности {f |
′ |
|
′′ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
(xn )} |
и {f (xn )}сходятся к различным числам. Это вступает в про- |
184
тиворечие со вторым определением предела функции, следовательно функция
f (x) = sin 1 не имеет предела в точке x0 |
= 0 . |
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
Определение предела функции |
на |
бесконечности. Пусть функция |
|||||
y = f (x) определена на бесконечном промежутке (a;+∞) . |
|||||||
Число A называется пределом функции |
f (x) |
при x → +∞, если для л ю- |
|||||
бого сколь угодно малого положительного |
числа |
ε найдется такое число |
|||||
M > 0 , что для всех значений x > M выполнено неравенство |
|
f (x) − A |
|
<ε . |
|||
|
|
||||||
Обозначается это так: lim f (x) = A или |
f (x) → A при x → +∞. |
||||||
x→+∞ |
|
|
|
|
|
|
|
Равносильное определение предела функции на «на языке последователь- |
|||||||
ностей» будет выглядеть так. |
|
|
|
|
|
|
|
Число A называется пределом функции f (x), |
при x → +∞, если для вс я- |
||||||
кой последовательности xn такой, что lim xn |
= +∞, |
соответствующая последо- |
|||||
n→∞ |
|
|
|
|
|
|
|
вательность значений функции f (xn ) сходится к A . |
|
|
|
|
|
||
Аналогично определяется lim f (x) и lim f (x) . |
|||||||
x→−∞ |
x→∞ |
|
|
|
|
|
|
Бесконечно малые и бесконечно большие функции. Функция y = f (x) |
называется бесконечно большой при x → x0 (в точке x0 ), если для всякого числа M > 0 найдется такое число δ > 0 , что для всех x таких, что x − x0 <δ ,
x ≠ x0 выполнено неравенство |
|
f (x) |
|
> M |
(или если для всякой последователь- |
||||||||||||||
|
|
||||||||||||||||||
ности xn такой, что lim xn = x0 , имеет место равенство lim f (xn ) = ∞). |
|||||||||||||||||||
n→∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n→∞ |
|
|||||||
Функция y = f (x) называется бесконечно малой при |
x → x0 (в точке |
||||||||||||||||||
x0 ), если lim f (x) = 0 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
x→x0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Пример 5.10. Доказать, что функция |
f (x) = 2−x является бесконечно ма- |
||||||||||||||||||
лой при x → +∞. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Р е шен и е . Требуется доказать, что lim 2−x = 0 , т.е. что для любого чис- |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
x→+∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
ла ε > 0 существует число M > 0 , такое, что |
|
|
|
2−x |
−0 |
|
|
|
<ε |
для всех x > M . |
|||||||||
|
|
|
|
||||||||||||||||
Рассмотрим любое ε > 0 . Неравенство |
|
2−x |
−0 |
|
<ε |
равносильно неравен- |
|||||||||||||
|
|
||||||||||||||||||
ству 2−x <ε и, далее, неравенствам − x ln 2 < lnε |
, x > |
lnε |
|
= ln 2ε . Таким об- |
|||||||||||||||
−ln 2 |
|||||||||||||||||||
разом, для всякого ε > 0 найдено число |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
M = ln 2ε из определения предела. |
Это и означает, что lim 2−x = 0 .
x→+∞
185
Свойства бесконечно малых функций.
1.Сумма и произведение любого конечного числа бесконечно малых при x → x0 функций есть бесконечно малая при x → x0 функция;
2.Произведение ограниченной функции на бесконечно малую есть бесконечно малая функция;
3.Функция y = f (x) является бесконечно малой при x → x0 тогда и
только тогда, когда y = f 1(x) – бесконечно большая при x → x0 ( 10 = ∞,
∞1 = 0).
Операции над пределами функций.
1. Если lim f (x) = A, lim g(x) = B , то: |
|
x→x0 |
x→x0 |
а) lim f (x) ± g(x) = A ± B ;
x→x0
б) lim cf (x) = cAдля любого c R ;
x→x0
в) lim f (x)g(x) = AB ;
x→x0
г) lim f (x) = A , если B ≠ 0. x→x0 g(x) B
2. Если lim f (x) = A, lim g(y) = B , то lim g( f (x)) = B . |
||
x→x0 |
y→A |
x→x0 |
3. Для всех основных элементарных функций в любой точке x0 их обла-
сти определения имеет место равенство lim f (x) = f (lim x) = f (x0 ) . |
|||||
|
|
x→x0 |
|
|
x→x0 |
Говорят, что отношение двух функций |
f (x) |
|
при x → x0 представляет |
||
g(x) |
|
||||
|
0 |
|
|
|
|
собой неопределенность вида |
, если lim f (x) = 0 |
, |
lim g(x) = 0. Аналогично |
||
|
0 |
x→x0 |
|
|
x→x0 |
|
|
|
|
определяются неопределенности вида ∞∞, ∞−∞, 0 ∞, 00 , ∞0 , 1∞ .
Пример 5.11. Найти следующие пределы:
|
3x2 |
−2 |
|
|
|
x2 −9 |
|
|
|
−3 |
|
|
1) lim |
; |
2) lim |
; 3) lim |
|
x −1 |
; |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
5x2 − |
4x +1 |
2x2 −4x −6 |
|
x −10 |
||||||||
x→1 |
|
x→3 |
x→10 |
|
186
4) |
lim |
1−4x + 4x2 ; |
5) |
lim(1−4cos x)2−x . |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
x→+∞ |
5x |
2 |
+1 |
|
x→+∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Р е шен и е : 1) справедлива цепочка равенств |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
lim |
|
3x |
2 |
−2 |
|
|
= |
lim(3x2 |
−2) |
= |
3(lim x)2 |
−2 |
= |
3 −2 |
|
= |
1 . |
||
|
|
|
|
x→1 |
|
|
x→1 |
|
|
||||||||||
|
|
|
4x +1 |
lim(5x2 |
− |
4x +1) |
5(lim x)2 −4lim x +1 |
5 −4 +1 |
|||||||||||
x→1 5x2 − |
|
|
|
|
2 |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
x→1 |
|
|
|
x→1 |
x→1 |
|
|
|
|
|
Здесь мы воспользовались теоремами об арифметических действиях над пределами и теоремой о пределе элементарной функции:
2) поскольку пределы числителя и знаменателя равны нулю, мы имеем дело с неопределенностью вида 00 . «Раскроем» эту неопределенность, т.е. из-
бавимся от нее, разложив числитель и знаменатель на множители и сократив дробь на x −3:
lim |
x2 −9 |
= lim |
(x −3)(x +3) |
= lim |
x +3 |
= |
3 +3 |
= |
6 |
= |
3 |
; |
||
2x2 −4x −6 |
2(x −3)(x +1) |
2(x +1) |
2(3 |
+1) |
8 |
4 |
||||||||
x→3 |
x→3 |
x→3 |
|
|
|
|
3) опять имеем неопределенность вида 00 . Для ее раскрытия умножим
числитель и знаменатель дроби на выражение, сопряженное к числителю и воспользуемся формулой разности квадратов:
|
|
|
|
|
−3 |
|
( |
|
|
−3)( |
|
|
+3) |
|
x −1−9 |
|
|
||||||
lim |
|
|
x −1 |
= lim |
|
x −1 |
x −1 |
= lim |
|
= |
|||||||||||||
|
|
x −10 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
x→10 |
|
x→10 |
|
|
x −10( x −1 +3) |
x→10 |
x −10( x −1 |
+3) |
|
||||||||||||||
= lim |
1 |
|
|
|
= |
1 |
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
( x −1 +3) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
x→10 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4) числитель и знаменатель дроби представляют собой бесконечно большие при x → +∞ функции, поэтому здесь имеет место неопределенность вида
∞∞. Поступая как при вычислении предела последовательности, разделим числитель и знаменатель дроби на старшую степень x :
|
|
|
|
|
|
1 |
4 |
|
|
|
|
|
|
1−4x + 4x2 |
= lim |
|
|
− x + 4 |
|
4 |
|
||||
lim |
x2 |
= |
; |
|||||||||
5x |
|
+1 |
|
|
|
5 |
||||||
x→+∞ |
2 |
x→+∞ |
|
1 |
|
|
|
|||||
|
|
|
5 + |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
x2 |
|
−3 <1−4cos x < 5, т.е. функция |
||||
5) |
справедливо неравенство |
|
y =1−4cos x является ограниченной на всей числовой оси, а потому при ее умножении на бесконечно малую при x → +∞ функцию y = 2−x получим так-
187
же бесконечно малую |
при x → +∞ функцию. Таким образом, |
lim(1−4cos x)2−x = 0. |
|
x→+∞ |
|
Пределы функций и неравенства. |
|
1. Если lim f (x) = A, lim g(x) = B , и f (x) ≤ g(x) для всех x из некото- |
|
x→x0 |
x→x0 |
рой проколотой ε -окрестности точки x0 , то A ≤ B .
2. Если предел функции в данной точке положителен (отрицателен), то и все значения указанной функции положительны (отрицательны) в некоторой проколотой окрестности этой точки (обратное, вообще говоря, неверно: напри-
мер, пределом последовательности с положительными членами xn = 1n является число ноль).
3. Пусть функции f (x), f1 (x), f2 (x) определены в некоторой проколо-
той ε - окрестности точки x0 и |
f1 (x) ≤ f (x) ≤ f2 (x) для всех из этой окрестно- |
||
сти. Пусть также lim f1 |
(x) = lim f2 |
(x) = A. Тогда lim f (x) также существует и |
|
x→x0 |
x→x0 |
|
x→x0 |
равен A (теорема о промежуточной переменной).
4. Если функция имеет предел в данной точке, то она ограничена в некоторой окрестности этой точки.
Задачи для самостоятельного решения
5.37. Пользуясь первым определением предела (по Коши), доказать, что:
а) lim(3x + 2)= −1; |
б) lim(2 − x)=1; |
|||||
x→−1 |
|
|
|
|
x→1 |
|
в) lim |
1 |
= |
1 |
; |
г) lim x2 |
= 4 . |
x→3 |
x |
|
3 |
|
x→2 |
|
5.38. Пользуясь вторым определением предела (по Гейне), доказать, что:
а) lim(x2 |
− x) = 6 ; |
б) lim(x2 |
−3x +6)= 4; |
||||||||
x→−2 |
|
|
|
|
|
|
x→2 |
|
|
||
|
|
= |
|
|
|
; |
|
|
|||
в) lim |
|
|
3 |
г) lim(x + 2a)5 |
= 243a5 . |
||||||
1 |
− x2 |
||||||||||
|
|
|
|||||||||
1 |
|
2 |
|
|
x→a |
|
|
||||
x→2 |
|
|
|
|
|
5.39. Доказать, что функция y = f (x) не имеет предела в точке x = x0 :
а) |
f (x) = cos x, x0 = +∞; |
б) f (x) = tgx, x0 |
= |
π |
; |
|
|
|
|
2 |
|
в) |
f (x) = sign x , x0 = 0 ; |
|
|
|
|
188
|
1, |
если x −рациональное |
(функция Дирихле), |
x0 |
= |
1 . |
г) f (x) = |
|
если x −иррациональное |
||||
0, |
|
|
|
2 |
5.40. Доказать, что функция y = f (x) является бесконечно малой при x → +∞:
а) f (x) = sinx x ;
в) |
f |
(x) = cos3 x |
|
; |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
x +1 |
|
|
|||
Найти пределы: |
|
|
||||||||||
5.41. lim |
|
x2 −5x +6 |
|
. |
|
|
|
|||||
|
|
|
x |
2 |
−9 |
|
|
|
||||
x→3 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5.43. lim |
1 |
− x2 |
. |
|
|
|
|
|
|
|||
1 |
− x3 |
|
|
|
|
|
|
|||||
x→1 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
5.45. lim |
|
|
3t2 −t −2 |
. |
|
|
|
|||||
|
2t2 +5t |
−7 |
|
|
|
|||||||
t→1 |
|
|
|
|
|
|||||||
5.47. lim |
|
|
|
2y2 +5y + 2 |
. |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
y→−2 2y3 +7 y2 +6y |
|
5.49.lim1−32α .
α→0 3α −1
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
6 |
|
|
|
|||||||
5.51. lim |
|
|
|
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
. |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
x2 |
|
−9 |
||||||||||||
x→3 |
x −3 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
5.53. lim |
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
x→0 |
|
2 |
− x + 4 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
5.55. lim |
|
|
|
|
|
|
|
p +1 |
|
|
|
|
|
. |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
p→−1 |
1 |
− 1+ p + p2 |
|
|
|||||||||||||||||
5.57. lim |
|
|
|
x |
−8 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
x→8 |
|
3 |
|
x −2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
5.59. lim |
|
|
|
|
x2 + x −12 |
|
|
|
|
. |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
x→3 |
|
|
|
|
x −2 − |
|
4 − x |
|
|
б) f (x) = 1x + 21x ;
г) f (x) = (cos x +sin x)e−x .
5.42. lim |
|
|
x2 |
|
−6x +8 |
. |
|
|
|
|
|||||||||||||
|
x2 |
−8x |
+12 |
|
|
|
|
||||||||||||||||
x→2 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
5.44. lim |
a2 |
|
− x |
2 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
+ x |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
x→−a a3 |
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
5.46. lim |
|
x3 |
−6x2 +11x −6 |
. |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
x |
2 |
|
|
−3x + 2 |
|||||||||||||
x→1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5.48. lim |
|
|
|
|
|
cos 2ϕ |
|
|
. |
|
|
||||||||||||
|
sinϕ −cosϕ |
|
|
||||||||||||||||||||
x→π |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5.50. lim |
|
x5 |
−1 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
x4 |
−1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
x→1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
5.52. lim |
|
|
|
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|||||
1− x |
1− x3 |
|
|||||||||||||||||||||
x→3 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
5.54. lim |
|
1− x2 |
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
1− |
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
x→1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
−2 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||
5.56. lim |
|
|
|
|
x2 + 4 |
. |
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
x→0 |
|
|
|
|
x |
2 |
+ |
|
|
9 −3 |
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5.58. lim x −1.
x→1 3 x −1
|
|
|
− |
|
|
. |
||
5.60. lim |
|
x +10 |
4 − x |
|||||
|
2x |
|
|
|
|
|
||
x→−3 |
2 |
− x −21 |
||||||
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
189