8.4. Анализ устойчивости по лчх

Оценку устойчивости по критерию Найквиста удобнее производить по логарифмическим частотным характеристикам разомкнутой САУ. Очевидно, что каждой точке АФХ будут соответствовать определенные точки ЛАЧХ и ЛФЧХ.

Пусть известны частотные характеристики двух разомкнутых САУ (рис. 8.6, кривые 1 и 2), отличающихся друг от друга только коэффициентом передачи . Пусть первая САУ устойчива в замкнутом состоянии, вторая - неустойчива.

Рисунок 8.6 - Устойчивость двух систем

Если - передаточная функция первой САУ, то передаточная функция второй САУ. Вторую САУ можно представить последовательной цепочкой из двух звеньев с передаточными функциями(усилительное звено) и, поэтому результирующие логарифмические амплитудно-частотные характеристики строятся как сумма ЛАЧХ каждого из звеньев.

В этом случае ЛАЧХ первой САУ:

,

(8.11)

а ЛФЧХ первой САУ:

.

(8.12)

ЛАЧХ второй САУ:

,

(8.13)

а ЛФЧХ второй САУ:

.

(8.14)

На диаграмме Найквиста (рис. 8.6, а) годографы АФХ пересекают отрицательную ветвь вещественной оси в точках, которым соответствует значение фазы . Это соответствует точке пересечения ЛФЧХ линии координатной сетки (рис. 8.6, б).

Особыми точками на диаграмме Найквиста являются точки пересечения АФХ с единичной окружностью и осью вещественных чисел (рис. 8.6, а). Частоты и, при которых АФХ пересекает единичную окружность, называютчастотами среза. Частоту при которой АФХ пересекает ось вещественных чисел, называютчастотой фазового сдвига.

Запасам устойчивости по модулю и, определенным по АФХ (рис. 8.6, а) соответствуют расстояния от оси абсцисс до ЛАЧХ в точках, где(рис. 8.6, б), но в логарифмическом масштабе: и .

ЛАЧХ пересекает горизонтальную ось в точках . Если при частоте срезафаза АФХ(рис. 8.6,а, кривая 1), то замкнутая САУ устойчива. На рис. 8.6, б это выглядит так, что точке пересечения ЛАЧХ с горизонтальной осью соответствует точка ЛФЧХ, расположенная выше линии .

И, наоборот, для неустойчивой замкнутой САУ (рис. 8.6,а, кривая 2) при частоте среза фаза АФХ. На рис. 8.6, б точке пересечения ЛАЧХ с горизонтальной осью соответствует точка ЛФЧХ, расположенная ниже линии .

Исходя из сказанного, критерий устойчивости Найквиста по логарифмическим частотным характеристикам, в случаях, когда АФХ только один раз пересекает отрезок вещественной оси , можно сформулировать следующим образом: для устойчивости замкнутой САУ необходимо и достаточно, чтобычастота фазового сдвига , былабольше частоты среза .

Рисунок 8.7 - Устойчивость системы со сложным видом АФХ

Если АФХ разомкнутой САУ имеет сложный вид (рис. 8.7), то ЛФЧХ может несколько раз пересекать линию . В этом случае применение критерия Найквиста несколько усложняется. Однако во многих случаях данной формулировки критерия Найквиста оказывается достаточно.

По логарифмическим амплитудно-частотным и фазовым частотным характеристикам разомкнутой системы довольно просто определить запас устойчивости по коэффициенту усиления и фазе.

Рассмотрим в качестве примера замкнутую систему регулирования, изображенную на рис. 8.8.

Рисунок 8.8 - Пример замкнутой системы регулирования

Разомкнутая система включает два последовательно соединенных звена со следующими передаточными функциями:

и .

Для определения запаса устойчивости по амплитуде и фазе воспользуемся пакетом Matlab. В командной строке пакета зададим две передаточные функции:

,

.

Поскольку звенья соединены последовательно, то для определения эквивалентной передаточной функции разомкнутой системы введем следующую строку:

.

Для построения ЛАЧХ и ЛФЧХ воспользуемся функцией . Полученные характеристики изображены на рис. 8.9.

Рисунок 8.9 - ЛАЧХ и ЛФЧК системы, изображенной на рис. 8.9

В данном примере запас по модулю составляет 8.09 дБ и запас по фазе – 7.53 градуса.