8.2. Критерий Найквиста

Критерий предназначен для анализа устойчивости замкнутых систем. Этот критерий позволяет судить об устойчивости замкнутой САУ по виду амплитудно-фазовой характеристики разомкнутой САУ.

Исследование разомкнутой САУ проще, чем замкнутой. Устойчивость разомкнутой системы часто можно установить без всяких вычислений непосредственно по схеме системы. Так, например, разомкнутая система, которая состоит из устойчивых звеньев и не содержит обратных связей, априори устойчива.

Запишем передаточную функцию разомкнутой системы в виде:

.

(8.1)

Преобразуем это выражение в комплексный коэффициент усиления разомкнутой системы:

.

(8.2)

Передаточная функция замкнутой системы регулирования с единичной отрицательной обратной связью:

.

(8.3)

Комплексный коэффициент усиления замкнутой системы:

.

(8.4)

Рассмотрим вспомогательную функцию:

.

(8.5)

Знаменатель функции (8.5) представляет собой частотную функцию , соответствующую характеристическому уравнению разомкнутой системы (8.2), а числитель - частотную функцию , соответствующую характеристическому уравнению замкнутой системы (8.4).

Если разомкнутая система устойчива, то изменение фазы при ростеот нуля добудет равно:

,

(8.6)

где - степень характеристического уравнения разомкнутой системы.

Если замкнутая система устойчива, то изменение фазы при изменении от нуля до бесконечности также должно стремиться к.

,

(8.7)

Отсюда вытекает, что предел отношения фаз частотных функцийв случае устойчивой замкнутой системы должен быть равен:

.

(8.8)

В этом случае можно записать:

.

(8.9)

Поскольку модули частотных функций и всегдаположительны, то и их отношение также будет положительным. Это означает, что годограф не должен охватывать начало координат.

Из уравнения (8.5) запишем выражение для комплексного коэффициента усиления разомкнутой системы:

.

(8.10)

На основании уравнения (8.10) формулируется частотный критерий Найквиста [2]. Если разомкнутая система устойчива, то для устойчивости замкнутой системы необходимо и достаточно, чтобы амплитудно-фазовая характеристика разомкнутой системы не охватывала точку .

Рисунок 8.3 - Пример устойчивой системы

Рисунок 8.4 - Пример неустойчивой системы

8.3. Понятие запаса устойчивости

В условиях эксплуатации параметры системы по тем или иным причинам могут меняться в определенных пределах (старение, температурные колебания и т.п.). Эти колебания параметров могут привести к потере устойчивости системы, если она работает вблизи границы устойчивости. Поэтому стремятся спроектировать САУ так, чтобы она работала вдали от границы устойчивости. Степень этого удаления называют запасом устойчивости.

Согласно критерию Найквиста, чем дальше АФХ от критической точки , тем больше запас устойчивости. Различают запасы устойчивости по модулю и по фазе.

Запас устойчивости по модулю характеризует удаление годографа АФХ разомкнутой САУ от критической точки и определяется расстоянием от критической точки до точки пересечения годографом оси абсцисс (рис.8.5, а).

Рисунок 8.5 - Запас устойчивости

Запас устойчивости по фазе характеризует удаление годографа от критической точки по дуге окружности единичного радиуса и определяется углом между отрицательным направлением вещественной полуоси и лучом, проведенным из начала координат в точку пересечения годографа с единичной окружностью.

С ростом коэффициента передачи разомкнутой САУ растет модуль каждой точки АФХ и при некотором значении АФХ пройдет через критическую точку (рис. 8.5, б) и попадет на границу устойчивости, а при замкнутая САУ станет неустойчива.

Обычно при создании САУ задаются требуемыми запасами устойчивости и , за пределы которых она выходить не должна.