8. Устойчивость линейных систем автоматического управления

8.1. Понятие устойчивости

Система называется устойчивой, если:

• после снятия воздействия по окончании переходного процесса система возвращается в исходное равновесное состояние;

• после изменения воздействия на постоянную величину по окончании переходного процесса система приходит в новое равновесное состояние.

Понятие устойчивости неразрывно связано с понятием равновесия.

Равновесным состоянием тела (или некой системы) называется такое состояние, в котором сумма всех внешних по отношению к телу (или системе) воздействий равна нулю. Равновесное состояние может быть устойчивым, неустойчивым и нейтральным.

Классической иллюстрацией этого положения (рис. 8.1) является поведение шарика, помещенного: на дно лунки (рис. 8.1, а), на вершину холма (рис. 8.1, б) и на горизонтальную плоскость (рис. 8.1, в).

Рисунок 8.1 - Механическая интерпретация понятия устойчивости

В каждом из этих случаев сумма внешних сил, действующих на шарик, равна нулю и, следовательно, шарик находится в состоянии равновесия. Однако, если в первом случае после небольшого отклонения шарик через некоторое время вновь возвращается в исходное положение равновесия, то во втором он будет продолжать отклоняться от него, а в третьем - просто перейдет в новое положение равновесия, зависящее от величины отклонения. Некоторые системы могут быть неустойчивы при больших воздействиях (рис. 8.1, г).

На рис. 8.2. показаны типовые кривые переходных процессов в неустойчивой (рис. 8.2, а) и устойчивой (рис. 8.2, б) системах. Если система неустойчивая, то любого толчка достаточно, чтобы в ней начался расходящийся процесс выхода из начального установившегося состояния. Этот процесс может быть апериодическим (рис. 8.2, а, кривая 1) или колебательным (рис. 8.2, а, кривая 2).

Рисунок 8.2 - К понятию устойчивости системы

Апериодический расходящийся процесс может, например, возникнуть в САУ, если в ее управляющем устройстве по ошибке переключить полярность обратной связи, в результате чего управляющее устройство будет осуществлять не отрицательную, а положительную обратную связь по выходной величине. При этом управляющее воздействие будет не устранять отклонение, а действовать в обратном направлении, вызывая лавинообразное его изменение.

В случае устойчивой системы (рис. 8.2, б) переходной процесс, вызванный каким-то воздействием, со временем затухает, и система вновь возвращается в устойчивое состояние.

Таким образом, устойчивую систему можно определить также как систему, переходные процессы в которой являются затухающими.

Приведенное понятие устойчивости определяет устойчивость установившегося режима системы. Однако, система может работать в условиях непрерывно изменяющихся воздействий, когда установившийся режим работы отсутствует. С учетом таких условий работы можно дать следующее, более общее определение устойчивости: система устойчива, если ее исходное состояние остается ограниченным в условиях действия на систему ограниченных по величине возмущений.

Нетрудно показать, что если переходной процесс в системе затухающий, то система будет удовлетворять и последнему определению.

Как было показано ранее, если все корни характеристического уравнения находятся в левой комплексной полуплоскости, то система регулирования устойчива. К сожалению, вычисление корней просто лишь для уравнений первой и второй степени. Поэтому большое значение приобретают правила, позволяющие определять устойчивость системы без вычисления корней. Эти правила называют критериями устойчивости.

К основным критериям устойчивости относятся алгебраический критерий Гурвица и частотные критерии Михайлова и Найквиста. Рассмотрим частотный критерий устойчивости Найквиста.