Расчет кумулятивного критерия для проверки гипотезы о линейной форме тренда

Годы	Валовой надой молока, тыс. тонн, yt			Zn	Z2n	t2
1999	708	700	8	8	64	64
2000	690	679	11	19	361	121
2001	669	659	10	29	841	100
2002	632	638	-6	23	529	36
2003	599	618	-19	4	16	361
2004	586	598	-12	-8	64	144
2005	563	577	-14	-22	484	196
2006	547	557	-10	-32	1024	100
2007	545	536	9	-23	529	81
2008	539	516	23	0	0	529
Итого	6078	6078	0	-	3912	1732

Тенденция исходного временного ряда может быть трех видов: тенденция среднего уровня, дисперсии и автокорреляции.

Тенденция среднего уровня может быть выражена с помощью графического метода. Аналитически тенденция выражается с помощью некоторой математической функции f(t), вокруг которой варьируют эмпирические значения исходного временного ряда изучаемого социально-экономического явления. При этом теоретические значения, то есть значения, полученные по трендовым моделям в отдельные моменты времени, являются математическими ожиданиями временного ряда.

Тенденция дисперсии представляет собой тенденцию изменения отклонений эмпирических значений уровней временного ряда от теоретических, полученных по уравнению тренда.

Тенденция автокорреляции выражает тенденцию изменения корреляционной связи между отдельными, последовательными уровнями временного ряда.

Проверка на наличие тенденции среднего уровня и дисперсии может быть произведена методом сравнения средних уровней временного ряда и методом Фостера-Стюарта.

Метод сравнения средних уровней временного ряда предполагает, что исходный временной ряд разбивается на две приблизительно равные части по числу членов ряда, каждая из которых рассматривается как самостоятельная, независимая выборочная совокупность, имеющая нормальное распределение. При этом решаются две задачи.

I. Если временной ряд имеет тенденцию, то средние, вычисленные для каждой совокупности в отдельности, должны существенно, значимо различаться между собой. Если же расхождение незначимо, несущественно и носит случайный характер, то временной ряд не имеет тенденции средней.

Таким образом, проверка гипотезы (Н₀ : ) о наличии тенденции в исследуемом ряду сводится к проверке гипотезы о равенстве средних двух нормально распределенных совокупностей, то есть:

Н₀ : (2.7)

H₁ : .

Гипотеза проверяется на основе t-критерия Стьюдента, расчетное значение которого определяется по формуле:

, (2.8)

где:

и – средние уровни временного ряда согласно порядка разбиения;

n₁ и n₂ – число уровней временного ряда, соответственно первой и второй части;

и – дисперсия первой и второй части.

Расчетное значение (t_p) критерия сравнивается с его критическим (табличным) значением (t_кр) при уровне значимости  и числе степеней свободы  = n – 2.

Если t_p > t_кр, то гипотеза о равенстве средних уровней двух нормально распределенных совокупностей отвергается, следовательно расхождение между вычисленными средними значимо, существенно и носит неслучайный характер, и, следовательно, во временном ряду существует тенденция средней и существует тренд.

II. Если временной ряд имеет тенденцию, то дисперсии, вычисленные для каждой совокупности в отдельности, должны существенно и значимо различаться между собой. Если же расхождение между ними не значимо, то временной ряд не имеет тенденции дисперсии. Таким образом проверяется гипотеза (H₀:) об отсутствии тенденции в дисперсиях в исходном временном ряду, которая сводится к проверке гипотезы о равенстве дисперсий двух нормально распределенных совокупностей, то есть:

H₀ : ; (2.9)

H₁ : .

Гипотеза проверяется на основе F-критерия Фишера-Снедекора, расчетное значение которого определяется по формуле:

, если

и , если. (2.10)

Проверка гипотезы осуществляется на основе сравнения расчетного и критического значений F-критерия, полученного при заданном уровне значимости  и числе степеней свободы ₁ и ₂.

Если , то₁ = n₂ – 1;

₂ = n₁ – 1.

Если , то₁ = n₁ – 1;

₂ = n₂ – 1. (2.11)

Гипотеза о равенстве дисперсий двух нормально распределенных совокупностей отвергается, если F_p > F_кр. Следовательно, расхождение между вычисленными дисперсиями значимо, существенно, носит неслучайный характер и во временном ряду существует тенденция в дисперсиях и существует тренд.

Следует заметить, что данный метод дает вполне приемлемые результаты лишь в случае рядов с монотонной тенденцией. Если же временной ряд меняет общее направление развития, то точка поворота тенденции может оказаться близкой к середине ряда, в силу этого средние двух отрезков ряда будут близки и проверка может не показать наличия тенденции.

Пример. Имеются следующие данные о числе зарегистрированных разбоев в РФ (в тыс.):

Таблица 2.4

Годы	1999	2000	2001	2002	2003	2004	2005	2006	2007	2008
Число разбоев	16,5	18,5	30,4	34,2	37,9	37,7	34,6	34,3	38,5	41,1

Необходимо проверить наличие тенденции в данном ряду динамики методом сравнения средних уровней ряда динамики.

Разобьем исходный ряд динамики на 2 равные части:

• в первую войдут значения показателя с 1999 по 2003 гг.,

• во вторую – с 2004 по 2008 гг.

Рассчитаем выборочные характеристики:

Если во временном ряду существует тенденция средней, то средние, вычисленные для двух совокупностей, должны значимо различаться между собой.

Выдвигаем гипотезу , проверяем ее на основеt-критерия

Стьюдента:

Следовательно гипотеза о равенстве средних двух совокупностей отвергается с вероятностью ошибки 5%, средние существенно различаются между собой, в ряду динамики числа зарегистрированных разбоев в РФ существует тенденция средней и, следовательно, во временном ряду существует тренд.

Проверим гипотезу H₀ о равенстве дисперсий двух нормально распределенных совокупностей на основе F-критерия Фишера-Снедекора:

Так как , то гипотезаH₀ о равенстве дисперсий двух нормально распределенных совокупностей отвергается с вероятностью ошибки 5%, следовательно расхождение между дисперсиями существенно, во временном ряду числа зарегистрированных разбоев в РФ существует тенденция дисперсий, следовательно, во временном ряду существует тренд.

Метод Фостера-Стюарта основан на двух характеристиках S и d.

,

,

где:

,

. (2.12)

Суммирование производится по всем членам ряда. Значения U_t и l_t определяются путем сравнения уровней исходного ряда динамики со всеми предыдущими.

Если значение уровня ряда превышает по своей величине каждый из предыдущих уровней, то величине U_t присваивается значение 1, в остальных случаях она равна 0. Таким образом:

(2.13)

Наоборот, если значение уровня ряда меньше всех предыдущих, то l_t присваивается значение 1.

Таким образом:

(2.14)

Показатели S и d асимптотически нормальные и имеют независимые распределения, но на них влияет порядок расположения уровней во времени. Показатель S применяется для обнаружения тенденции изменения в дисперсиях, d – для обнаружения тенденции в средней. После того, как для исследуемого ряда найдены фактические значения d и S, проверяется гипотеза о том, можно ли считать случайными разности (d – 0) и (S – ). Гипотезы проверяются на основе t-критерий Стьюдента, то есть:

, (2.15)

, (2.16)

где:

 – математическое ожидание величины S, определенное для случайного расположения уровней во времени;

₁ – средняя квадратическая ошибка величины S;

₂ – средняя квадратическая ошибка величины d.

Значения , ₁, ₂ табулированы.

Если t_d > t_кр (;  = n – 1), то гипотеза об отсутствии тенденции в средней отвергается, следовательно в исходном временном ряду существует тренд.

Если t_s > t_кр (;  = n – 1), то гипотеза об отсутствии тенденции в дисперсиях отвергается, следовательно существует тенденция дисперсии и существует тренд.

Пример. Проверим наличие тенденции во временном ряду числа зарегистрированных разбоев в РФ методом Фостера-Стюарта.

Отразим в таблице ,,,.

Таблица 2.5