2.3. Моделирование тенденции

Анализ и моделирование тенденции временного ряда целесообразно начинать с выявления наличия тенденции в целом. Для этой цели наиболее эффективны и дают хорошие результаты такие методы как кумулятивный Т-критерий.

Кумулятивный Т-критерий позволяет определить наличие не только самой тенденции, но и ее математического выражения – тренда.

Выдвигается основная гипотеза (Н₀:) об отсутствии тенденции в исходном временном ряду.

Расчетное значение критерия определяется по формуле:

, (2.5)

где:

Z_n – накопленный итог отклонений эмпирических значений уровней исходного ряда динамики от среднего его уровня;

– общая сумма квадратов отклонений, определяемая по формуле:

;

y_t – исходные значения признака;

–средний уровень исходного ряда динамики;

n – длина временного ряда (число уровней).

Если анализируется достаточно длинный временной ряд, то для расчета значений критерия можно использовать нормированное отклонение:

. (2.6)

Расчетные значения кумулятивного Т-критерия и t_p сравниваются с критическими при заданном уровне значимости . Если расчетное значение T_p превышает критическое (табличное) значение критерия (Т_кр), то гипотеза об отсутствии тенденции отвергается, следовательно в исходном временном ряду существует тенденция, описываемая трендом. В противном случае, если Т_р < Т_кр или t_p < t_кр, признается отсутствие тенденции в ряду динамики.

Пример. Имеются следующие данные об объеме вложений в ценные бумаги финансовой компании за период январь – октябрь 2009 г. Необходимо выявить тенденцию в изменении данного показателя.

Промежуточные расчеты реализации кумулятивного Т-критерия представлены в таблице 2.2.

Таблица 2.2

Промежуточные расчетные значения слагаемых кумулятивного т-критерия

Месяц	yt		yt –
Январь	78,4	6 146,56	-19,58	-19,58	383,38
Февраль	75,4	5 685,16	-22,58	-42,16	1 777,47
Март	76,1	5 791,21	-21,88	-64,04	4 101,12
Апрель	76,6	5 867,56	-21,38	-85,42	7 296,58
Май	85,1	7 242,01	-12,88	-98,30	9 662,89
Июнь	101,4	10 281,96	3,42	-94,88	9 002,21
Июль	110,6	12 232,36	12,62	-82,26	6 766,71
Август	117,9	13 900,41	19,92	-62,34	3 886,28
Сентябрь	126,2	15 926,44	28,22	-34,12	1 164,17
Октябрь	132,1	17 450,41	34,12	0,00	0,00
Итого	979,8	100 524,08	-	-	44 040,81

= == 97,98;

= 100 524,08 – (97,98)²  10 = 4 523,28.

Соответственно, подставляя в формулу полученные значения, получаем:

Т_р = =9,74

Так как Т_р (9,74) > Т_кр (0,05; n=10; T_кр = 4,55), то гипотеза об отсутствии тенденции отвергается, следовательно во временном ряду объема вложений в ценные бумаги финансовой компании тенденция существует.

Гипотезу о форме тренда также можно проверить с помощью кумулятивного T-критерия, где:

Z_n = (y_t – ) – накопленные суммы отклонений от тренда.

Фактическое значение Т_р сравнивается с критическим для соответствующей функции f(t). Критические значения табулированы (приложение 5).

Расчет статистической характеристики критерия Т_р для проверки гипотезы о форме тренда рассмотрим на примере линейной функции (табл. 2.3).

Для временного ряда валового надоя молока линейная функция равна: y_t = 607,8 – 10,2t. Согласно проведенным расчетам фактическое значение Т_р = 4,48. Оно больше критического T_0.95(10) = 1,48, следовательно, линейная функция хорошо аппроксимирует тенденцию изменения валового надоя молока.

Аналогично рассчитанное значение Т_р = 0,98 для параболы II порядка y_t = 594,93 – 10,2t + 0,39t², что заметно ниже критического значения. Это дает основание с вероятностью 95% признать, что парабола не подходит для описания тенденции валового надоя молока.

Таблица 2.3