Savelova_Metod_Monte-Karlo_2011

Существуют модификации метода Неймана [24].

В заключение 2-й главы рассмотрим еще один способ модели-

рования нормальной случайной величины.

Пусть , – независимые случайные величины с распределени-

ем N 0,1 . Тогда совместная плотность распределения ( , ) имеет вид

В полярных координатах исходная плотность запишется в виде

Пользуясь методом обратных функций, находим

В результате несложных вычислений получаем

r2 ln 1 γ1 , θ 2πγ2 2

или окончательно имеем формулы для моделирования:

ξ 2ln γ1 cos 2πγ2 ,

η 2ln γ1 sin 2πγ2 .

81

Задание на самостоятельную работу

Задание 3. Моделирование случайных величин

1. Если – случайное число из (0,1), то ς εk 10 k (1), εk -

k 1

независмые случайные цифры. Если ε1,ε2 ,...,εk ,... – независимые случайные цифры, то формула (1) определяет случайное число.

2.Найти формулы для моделирования случайной величины

3.Найти формулы для моделирования случайной величины с

4.Найти формулы для моделирования случайной величины с функцией распределения F x 1 13 2e x e 5x , x 0 .

5.Вывести формулы для расчета двумерной случайной вели-

чины в кольце R12 ξ2 η2 R22 .

6.Вывести формулы для моделирования случайной величины

ξ,η с плотностью p x, y 3y в треугольнике, ограниченном

прямыми x 0 , y x , y 1.

7.Докажите, что для моделирования случайной величины с

висимые равномерно распределенные случайные величины на

(0,1).

8. Используя ЦПТ, получить формулы для моделирования нормального распределения с помощью последовательности γi –

равномерно распределенных случайных величин на (0,1).

9.Вывести формулы для моделирования нормальной случай-

ной величины, используя двумерное нормальное распределение с независимыми компонентами и переход к полярным координатам.

10. Найти формулы для моделирования случайной величины с плотностью

дисперсии.

12. Привести оценку с конечной дисперсией для вычисления

fx x2 при x 0 .

13.Обосновать метод суперпозиции.

83

Одним из методов приближенного вычисления значений интегралов, при котором погрешность оценивается не гарантированно а лишь с некоторой степенью достоверности,

является метод Монте-Карло.

Н.С. Бахвалов

Глава 3. Методы приближенного вычисления интегралов

Существует много численных методов интегрирования [4]. При построении квадратурных формул вместе с формулой получают оценку ее погрешности на некотором классе функций. Например,

для формулы трапеций была получена оценка погрешности вида

СA2 N 2 на классе функций со второй производной, ограниченной постоянной A2 , здесь N – число узлов интегрирования, С – const.

Такого рода оценки погрешности называются гарантированными оценками погрешности на классе функций. При таком подходе, как оценка погрешности метода на классе, в случае оценки погрешно-

сти конкретного интеграла мы ориентируемся на величину по-

грешности в случае интегрирования «худшей» функции рассматри-

ваемого класса. Для ряда классов функций эта оценка погрешности настолько плоха, что не дает никакой надежды на получение ре-

зультата интегрирования с требуемой точностью. Например, не существует методов с оценкой погрешности на классе функций лучшей AN 1s , здесь А = const, s – кратность вычисляемого инте-

грала.

84

Предположим, что требуется гарантировать оценку погрешно-

сти, меньшую 0,01A . Тогда число узлов должно удовлетворять не-

равенству AN 1 s 0,01A или N 100s . Поскольку квадратурные формулы обычно используют большое количество арифметических операций, то уже при s = 6 это требование на число узлов оказыва-

ется практически невыполнимым.

Один из путей выхода из создавшегося положения – отказ от га-

рантированной оценки приближенного вычисления интегралов.

Методом такого рода, где оценка погрешности дается лишь с неко-

торой степенью достоверности, является метод Монте-Карло.

3.1. Общая схема метода Монте-Карло для приближенного вычисления интегралов

Пусть требуется вычислить приближенное значение интеграла

I f f Q dQ ,

G

а Q1,...,QN – N попарно независимых одинаково распределенных в

G точек с плотностью распределения p Q ,

Случайные величины Si f попарно независимы и одинаково распределены:

85

При α 0,01 получаем, что с вероятностью 99% выполняется не-

равенство

Если предположить, что точки Qi не только попарно независи-

мы, но и взаимно независимы, то можно воспользоваться прибли-

86

женной оценкой с помощью центральной предельной теоремы.

Тогда при N 1 случайная величина

выполняются, соответственно, с вероятностями 0,997 или 0,99999.

Сформулированные утверждения называют правилами «трех сигм» или «пяти сигм».

87

В правой части оценок (3.1), (3.2) стоит неизвестная величина дисперсии

заменим ее на статистическую оценку.

Из главы 1 имеем несмещенную оценку дисперсии D f :

3.2. Способы уменьшения дисперсии при вычислении интегралов методами Монте-Карло

Оценка точности вычисления определенного интеграла методом Монте-Карло согласно оценкам (3.1), (3.2) имеет вид

Отсюда следует, что возможно уменьшение погрешности вы-

числения интеграла за счет увеличения количества испытаний N .

Однако такой путь увеличения точности считается «тупым». Сво-

бодным параметром при вычислении интеграла методом Монте-

Карло является плотность p Q , Q G . Один из путей увеличения точности вычислений – выбор плотности с наименьшей дисперсией

D f . Доказано [24], что наименьшая дисперсия достигается при p Q f Q (пропорционально), однако выбор такой плотности равнозначен вычислению исходного интеграла при f Q 0 .

88

Существуют различные приемы уменьшения дисперсии D f

[14, 24]. Укажем некоторые из них:

1)частично аналитическое интегрирование подынтегральной функции или выделение главной части;

2)интегрирование по части пространства (аналитическое или

спомощью кубатурных формул, если при этом не возникает боль-

ших затруднений);

3)интегрирование по части переменных (и тем самым умень-

шение размерности интеграла);

4)включение особенности подынтегральной функции в плот-

ность;

5)симметризация подынтегральной функции.

Рассмотрим свойство 1.

Пусть

I f f Q dQ Mg Q ,

G

g Q – случайная функция с плотностью p Q . Пусть h Q ап-

проксимирует g Q в том смысле, что легко вычисляется интеграл

C h Q p Q dQ .

G

Для случайной величины

η C g Q h Q

математическое ожидание равно

Mη C I f C I f .

Дисперсия легко оценивается:

89

G

тогда Dη δ .

Рассмотрим свойство 2.

Пусть G G1 G2 (рис. 3.1),

f Q p Q dQ B ,

G1

p Q dQ α 0 , α 1 .

G1

Имеем

I f f Q p Q dQ B 1 α f Q p1 Q dQ ,

Рассмотрим случайную величину

η B 1 α f Q

90