Savelova_Metod_Monte-Karlo_2011
.pdf
ПФ характеризует вероятность распределения ориента-
Ph y
ции нормали h к определѐнной кристаллографической плоскости
зерна относительно направления y в образце (рис. П.2.4):
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dV ( y) |
|
|
|
||
P y |
dy |
|
|
|
|
|
(П.2.1) |
|
|
|
|
||||
h |
|
|
|
V |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
y||h |
|
|
|
у которых кристаллографиче- |
|||||
где dV ( y) – объѐм кристаллитов, |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
ское направление h совпадает с направлением y в образце; V –
общий объѐм образца.
Рис. П.2.4
Полюсная фигура аналитически может быть записана в виде
|
|
l |
1 1 |
l |
|
4π |
|
|
|
|
Ph y |
|
|
|
|
Cmnl |
Ylm (h)Yln (h) , (П.2.2) |
||||
2 |
|
(2l 1) |
||||||||
|
l 0 m,n l |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
где Cmnl – коэффициенты разложения ФРО по обобщенным шаро-
вым функциям (5.4) , Ylm – шаровые функции.
Из соотношения (П.2.2) видно, что задача вычисления различ-
ных ПФ для поликристалла сводится к нахождению коэффициен-
141
тов Cmnl . Очевидно, что для определения Cmnl необходима инфор-
мация о конкретном образце.
Для получения экспериментальных данных о кристаллических материалах можно использовать электроны, так как они могут вес-
ти себя как волны и, следовательно, подвергаются дифракции на кристаллических решетках. На этом принципе основана техника
EBSD (дифракция электронов обратного рассеивания) исследова-
ния образцов в сканирующем электронном микроскопе (SEM) (рис. П.2.5). Стационарный пучок электронов бомбардирует опре-
деленным образом повернутый кристаллический образец, дифраги-
рованные электроны формируют изображение на флуоресцентном экране, которое характеризует кристаллическую структуру иссле-
дуемой области в образце. Механизм формирования дифракцион-
ных картин достаточно сложен, в его основе лежит закон Брэгга– Вульфа [Готтштайн Г. Физико-химические основы материалове-
дения. М.: Бином, 2009, с. 400]. Дифракционная картина (рис.
П.2.6) может быть использована для определения структуры и ори-
ентации отдельных зерен, исследования границ (рис П.2.7) и углов разориентации кристаллитов (рис. П.2.8.).
142
Рис. П.2.5. Основные компоненты |
Рис. П.2.6. Дифракционная карти- |
схемы EBSD |
на поликристалла Ni |
Рис. П.2.7. Границы зерен |
Рис. П.2.8. Текстура образцa при |
|
разных углах мизориентации |
143
Методика EBSD – эффективный, но затратный с точки зрения времени и финансов способ исследования текстуры. Разработку и тестирование алгоритмов для восстановления ПФ возможно прово-
дить на математически моделируемых образцах. В этом случае для выполнения численных экспериментов используются выборки ори-
ентировок, получаемые специализированным методом Монте-
Карло (см. раздел 5.2).
Рассмотрим данный подход на примере образца, текстура кото-
рого описывается центральным нормальным распределением
(ЦНР). В этом случае коэффициенты разложения ФРО по обоб-
щенным шаровым функциям известны и аналитически могут быть записаны в виде
Cmnl (2l 1)exp(l(l 1)ε2 )δmn ,
где ε – параметр ЦНР, являющийся показателем текстуры.
С другой стороны, проведѐм оценивание коэффициентов Cmnl
ядерным методом по набору смоделированных ориентировок.
Формула (П.2.3) будет применена для тестирования метода.
Введем понятие ядерного метода в одномерном пространстве.
Ядерный метод применяется в математической статистике для вос-
становления плотности распределения по известной выборке зна-
чений, подчиняющихся данному распределению. Такой подход предлагает в каждой реализации построить «бугор», вид которого определяется ядром. Искомая оценка является суперпозицией этих
144
«бугров» (рис.П.2.9). В качестве ядра могут рассматриваться раз-
личные функции.
Рис. П.2.9. Применение ядерного метода восстановления одномерной плотности распределения. Шесть одномерных гауссовских распределений
и их суперпозиция
Очевидно, что чем выше концентрация точек в некоторой об-
ласти, тем больше абсолютное значение восстанавливаемой плот-
ности. Встаѐт вопрос о выборе оптимального объѐма выборки и параметра ядра для достижения наилучших результатов.
Для применения ядерного метода на группе SO(3) выборка ори-
ентировок объемом N моделируется математически. Параметры в формуле (5.9) для моделирования нормальных распределений под-
бираются таким образом, чтобы получаемые случайные ориенти-
ровки являлись приближением ЦНР с заданной остротой текстуры
.
В качестве оценки ФРО используется функция с ядром Гаусса– Вейерштрасса. Данную оценку можно записать в виде
ˆ |
1 |
N |
1 |
|
|
f (g) |
|
q(gi |
g), |
(П.2.4) |
|
|
|||||
|
N i 1 |
|
|
|
|
где q(g) – ядро, имеющее вид |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
l |
|
qα (g) (2l 1) exp{l(l 1)α2 } Tnnl (g), |
|
||||
l 0 |
|
|
|
n l |
|
|
|
145 |
|
|
|
g1 ,..., gN – выборка ориентировок; |
g {θ,θ,ψ}, – параметр ядра |
|||||||||||
(параметр регуляризации); |
T l |
(g) |
= T l (θ,θ,ψ) – обобщѐнные ша- |
|||||||||
|
|
|
|
mn |
|
mn |
|
|
|
|
|
|
ровые функции l -го порядка. |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Оценки коэффициентов Cl |
имеют вид [23] |
|
|
|||||||||
|
|
|
|
mn |
|
|
|
|
|
|
|
|
ˆ l |
|
2l 1 |
|
|
|
|
N |
|
|
|||
|
|
|
|
2 |
|
|
l |
|
|
|||
Cmn |
|
|
|
exp |
l l 1 α |
|
Tmn |
gi . |
(П.2.5) |
|||
N |
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
i 1 |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Выражение (П.2.5) учитывает экспериментальные данные об образце. В нашем случае – ориентировки, разыгранные математи-
чески для известной текстуры, однако могут использоваться ре-
зультаты EBSD измерений для реальных образцов.
Перейдем от оценивания коэффициентов Cmnl к восстановлению ПФ. Подставив поочерѐдно выражения (П.2.3), (П.2.5) в соотноше-
ние (П.2.2), получаем
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, |
|
|
|
|
Ph y |
(2l 1) exp( l(l 1)ε2 )Pl h, y |
|
(П.2.6) |
||||||||||
|
|
|
|
l (2) 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
N |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(2l 1) exp( l(l 1)α |
2 |
l |
|
1 |
1 |
gh |
(3,3)), (П.2.7) |
||||||
Ph ( y) |
|
|
) P |
(gy |
gi |
|||||||||
ˆ |
N l (2) 0 |
|
|
i 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
где Pl (x) |
– полиномы Лежандра, |
|
S 2 , |
|
(α,β) , |
gy |
α,β,0 , |
|||||||
y |
y |
|||||||||||||
0 |
α 2π , |
0 β<π , |
|
(θ,θ) |
|||
h |
|||||||
1 |
g |
1 |
g (3,3) |
– элемент с |
|||
g |
i |
||||||
y |
|
h |
|
|
|
|
|
1 |
g |
1 |
g . |
|
|
|
|
g |
i |
|
|
|
|
||
y |
|
h |
|
|
|
|
|
, gh θ,θ,ψ ,
индексом 3х3
0 θ 2π , 0 θ<π ,
матрицы вращения
Соотношение (П.2.6) – точная формула определения ПФ для
любого направления h в модельном образце с текстурой описы-
146
ваемой ЦНР. Выражение (П.2.7) представляет оценку ПФ. Для ус-
пешного восстановления ПФ по экспериментальным данным необ-
ходимо подобрать оптимальные параметры: N – достаточный объ-
ѐм выборки измеренных (смоделированных) ориентировок, –
значение параметра ядра (параметра регуляризации), Lmax – мак-
симальное количество учитываемых членов ряда. Для наглядного представления оценок ПФ и точных функций можно построить стереографические проекции и линии уровня. Некоторые результа-
ты приведены на рис. П.2.10–П.2.13 для следующих наборов пара-
метров:
ε=0,125, α 0,0025, |
|
(0,0), |
N=1000, Lmax 4 (рис. П.2.10); |
||
h |
|||||
ε=0,5, α 0,0025, |
|
(0,0), N =1000, Lmax |
10 (рис. П.2.11); |
||
h |
|||||
ε=0,125, α 0,0025, |
|
(0, π 2), N=1000, |
Lmax 4 (рис. П.2.12); |
||
h |
|||||
ε=0,5, α 0,0025, |
|
(0, π 2), |
N=1000, Lmax 10 (рис. П.2.13). |
||
h |
|||||
Приведѐнные графики показывают, что выбор оптимальных па-
раметров оценивания ПФ важен. Например, на рис. П.2.11 и П.2.13
видно, что объѐм измеренных ориентировок мал для восстановле-
ния.
147
Рис. П.2.10
Рис. П.2.11
148
Рис. П.2.12
Рис. П.2.13
Нахождение оптимальных параметров – сложная задача. Неко-
торые экспериментаторы выбирают их эмпирически, полагаясь на
149
свой исследовательский опыт. В рассмотренном тривиальном при-
мере точная ПФ известна для образца, поэтому оптимальные пара-
метры можно подбирать из условия близости оценки ПФ к точной функции для различной остроты текстуры. Агрегируя получаемые результаты можно выделить закономерности, которые будут при-
менены при оценивании ПФ для реальных образцов с неизвестной текстурой.
150