Savelova_Metod_Monte-Karlo_2011

Нетрудно доказать (см. задачу 5 задания 2), что Fn x – несме-

щенная и состоятельная оценка функции распределения F (x) слу-

чайной величины .

Имеет место теорема 1.7 (теорема Колмогорова). Пусть

Доказательство утверждения (1.25) можно найти, например, в [6].

Функция K (z) носит имя Колмогорова.

Интересно отметить, что предел (1.25) не зависит от вида функ-

ции F (x) . Функция K (z) изображена на рис. 1.7. В пособиях по математической статистике эта функция обычно представлена в виде таблицы. В табл. 1.1 приведены некоторые значения данной функции.

41

Пользуясь теоремой Колмогорова, можно построить довери-

тельный интервал для функции распределения F (x) :

Принято считать:

42

r 1

нями свободы.

Теорема 1.8 (теорема Пирсона). Для любого промежутка R1

выполнено соотношение

43

lim P W P χ2 .

Доказательство теоремы можно найти в [15, 21]. Карл Пирсон рас-

и обнаружил, что при C j n величина (1.27) обладает простыми p j

интересными свойствами. В разделе 1.1 вводится χ 2 распределе-

ние, а на рис. 1.3 дано представление о его плотности распределе-

ния. В справочных руководствах по математической статистике обычно приведены таблицы значений χ 2 распределения для раз-

личных значений степени свободы r 1.

Пример 1.7. Имеется 20000 детей, из них 10220 – мальчики (М),

а 9780 – девочки (Д). Согласуются ли эти данные с гипотезой, что вероятности рождения мальчика или девочки совпадают, т.е.

P M P Д 12 ?

Решение. Составляем статистику Пирсона (1.26):

Следовательно, 6,6 W 9,68 10,8 , т.е. гипотеза о равенстве ве-

роятности рождения мальчика и девочки ставится под сомнение.

Считаем, что события – рождение мальчика или девочки – незави-

симы между собой. Можно использовать схему биномиального распределения, где вероятность «успеха» p (рождение мальчика) и

«неудачи» q (рождение девочки) одинаковы и равны числе испытаний n 20 000 1 можно применить нормальнее приближение N a,ζ с параметрами

a Mξ np 10000 ,

2 Dξ npq 5000 .

Отсюда находим ζ Dξ 70,7 , значение ξ 10 220 (число мальчиков) удовлетворяет условию ξ Mξ 220 3ζ 212,1.

Таким образом, получаем, что произошло маловероятное собы-

тие

P ξ Mξ 3ζ 0,003 .

Поэтому гипотеза P M P Д 12 отбрасывается.

Пример 1.8. В Лондоне, на который выпущено 535 самолетов-

снарядов, рассматривается 576 участков площадью 14 км2. Име-

45

Рассматриваем случайную величину – количество попаданий в квадрат.

Можно ли считать, что случайная величина подчиняется рас-

пределению Пуассона?

Решение. Находим оценку параметра распределения Пуассона:

Вычисляем оценки вероятностей попадания в квадрат k самолетов-

пы в одну и составляем статистику Пирсона:

46

Пользуемся таблицей χ32 распределения с числом степеней свобо-

ды f 4 1 3 , так как один параметр определяется из той же совокупности данных [15, 21]. Находим χкр2 7,83 1,71 при уровне доверия β 0,95 ( p 0,05 ), т.е. согласие с гипотезой о распределении Пуассона – хорошее.

1.7. Задача Беренца–Фишера

Имеются две случайные величины, распределенные по нор-

мальным законам с неизвестными параметрами:N a1,ζ1 ,

N a2 ,ζ2 .

Заданы выборки, отвечающие заданным распределениям:

x1,..., xm ,y1,..., yn .

Задача. Различны или нет случайные величины и ?

Решение. Сначала рассматривается

1)гипотеза H: ζ1=ζ2 =ζ .

Если гипотеза H не отвергается, то рассматривается

2)гипотеза H1: a1 a2 a .

В случае 1 выполнения гипотезы H получаем

47

Случайные величины имеют нормальное распределение: 48

свободы. Из таблицы для распределения Стьюдента для заданного уровня доверия β 0 находим tкр :

если t tкр , то гипотеза H1 отклоняется;

если t tкр , то основания отклонить гипотезу H1 нет.

Пример 1.9. Имеется 20 школьников, разделенных на две груп-

пы по 10 человек. Одна группа школьников из 10 человек пьет апельсиновый сок (АС), другая – молоко (М) (табл. 1.4). Считается,

что прибавление в весе каждого школьника – случайная величина,

распределенная по нормальному закону. Одинаковы или нет пара-

49

метры нормального закона распределения для двух случайных ве-

личин?

Таблица 1.4

Имеем результаты на основании данных из табл. 1.4: x 2,9 , y 2,4 , x y 0,5;

sOX2 9, 40 , sOY2 3,90;

s2

OX F 2, 41 , f1 f2 9 .

sOY2

Для β 0,05 Fкр 3,18 2,41, следовательно, нет оснований счи-

тать, что отклонение выборочных дисперсий значимо. Находим