Savelova_Metod_Monte-Karlo_2011

Другой вариант моделирования нормальной случайной величи-

ны N 0,1 будет рассмотрен в разделе 2.4 при использовании двумерного нормального распределения с независимыми компо-

нентами.

Рассмотрим метод суперпозиций моделирования случайной ве-

личины.

Пусть функция распределения случайной величины имеет вид

по значению γ1 0,1 равномерно распределенной случайной ве-

личины находим номер k, k 1,..., m ;

шаг 2 – моделирование случайной величины методом обрат-

ных функций

Fk ξ γ2 , ξ Fk 1 γ2 Gk γ2 ,

где Gk γ – обратная функция к Fk x .

Для обоснования алгоритма метода суперпозиций имеем равен-

ства

71

Вприведенной цепочке уравнений (2.10) используется теорема

ополной вероятности, записанная через условные вероятности со-

бытий.

Пример 2.7. Пусть функция распределения случайной величины

имеет вид

Пользуясь методом суперпозиций, дать алгоритм для моделирова-

ния случайной величины .

Используя шаги 1 и 2, получаем результат:

если γ1 34 , то ξ γ2 ,

если γ1 34 , то ξ 5γ2 ,

где γ1 , γ2 – разыгранные независимые равномерно распределен-

ные случайные величины в интервале (0,1).

Существуют обобщения метода обратных функций и метода су-

перпозиций на более широкий класс случайных величин, функция распределения которых не обязательно строго монотонна и непре-

рывна [14, 24].

72

2.4. Моделирование многомерных случайных величин

координатами. Для простоты изложения рассматривается случай трех переменных.

Пусть Fi xi , i 1, 2,3 , – функция распределения случайной ко-

ординаты ξi . Положим γ1, γ2 , γ3 независимые равномерно рас-

пределенные случайные величины в интервале (0,1). Рассмотрим

где VD – объем области D .

Имеем

Методом обратных функций находим формулу для разыгрыва-

ния координаты ξ1:

ξ1 a1 γ1, b1 a1

ξ1 a1 γ1 b1 a1 .

Аналогично получаем

ξ2 a2 γ2 b2 a2 ,

ξ3 a3 γ3 b3 a3 .

В общем случае плотность распределения может быть

Q

ξ

представлена в виде

p x1, x2 , x3 p1 x1 p2 x2 / x1 p3 x3 / x1, x2 ,

74

где p1 x1 – плотность распределения ξ1 ; p2 x2 / x1 – условная плотность распределения ξ2 при условии ξ1 x1 ; p3 x3 / x1, x2 –

условная плотность распределения ξ3 при условии ξ1 x1 , ξ2 x2 .

Обозначим

Теорема 2.4. Пусть γ1, γ2 , γ3 – независимые равномерно распре-

деленные случайные величины в (0,1). Определим ξ1, ξ2 , ξ3, по-

следовательно решая уравнения

лена в треугольнике, ограниченном отрезком прямой y b 1 x , b 0 и осями координат (рис. 2.4).

75

Найти формулы для разыгрывания и .

Решение. Плотность точки ξ,η вычисляется следующим образом:

Следовательно, получаем формулы для моделирования:

ξ1 γ1 ,

ηb 1 ξ γ2 bγ1 γ2 ,

γ1 , γ2 равномерно распределены в (0,1).

Рассмотрим преобразование случайного вектора

при этом плотность преобразуется следующим образом:

Пример 2.10. Пусть случайная точка Q x, y, z равномерно рас-

пределена в шаре

D x, y, z : x2 y2 z2 R2 .

Плотность точки Q равна

77

Введем сферические координаты r,θ,θ :

0 r R ,

0 θ π ,

0 θ 2π .

Якобиан перехода равен

x, y, z r2 sin θ .

r,θ,θ

Плотность в новых координатах записывается в виде:

p3 θ 21π .

Получаем, что в новых координатах все переменные независимы.

Находим функции распределения

Отсюда находим простые формулы для разыгрывания случайных координат:

r R3γ1 , cosθ 1 2γ2 , θ 2πγ3 .

При моделировании случайных величин нередко используется метод усечения. Пусть случайная величина имеет плотность рас-

пределения p x , x a,b . Рассмотрим случайную величину с

плотностью

p x Kp x , x a ,b ,

где a a b b .

Из условия нормировки плотности p x находим

В частности, метод усечения используется для случайных вели-

чин, значения которых неограничены, например нормальная слу-

чайная величина.

Рассмотрим метод Неймана моделирования случайных величин.

Для простоты ограничимся одномерным случаем, хотя этот метод

легко обобщается на случай многих переменных.

Теорема 2.5. Пусть случайная величина распределена с плот-

ленных в (0,1).

Пусть

79

ξ a γ b a , η cγ .

Определим метод отбора

ξ ξ , если η p ξ .

Тогда плотность распределения равна p x .

Доказательство. Имеем равенства (рис. 2.5):

Теорема доказана.

80