Savelova_Metod_Monte-Karlo_2011

(экспоненциальное распределение),

Mη 1a –

плотность потока заявок. Метод обратных функций для моделиро-

вания такой случайной величины приводит к расчетной формуле

(см. гл. 2, пример 2.5)

a

где – равномерно распределена в (0,1).

Схема расчета

Пусть i – линия, ti – момент ее освобождения, T1 0 – момент поступления первой заявки. Можно считать, что ti T1 (все линии свободны).

Первая заявка поступает на линию 1. Следовательно, в течение tз линия 1 занята. Заменяем t1 на t1 tз t1 нов , добавляем 1 к счетчику выполненных заявок. Рассмотрим вторую заявку.

Предположим, что k заявок рассмотрено. Тогда надо разыграть момент поступления (k+1)-й заявки. Для этого выбираем следую-

щее и по формуле (4.1) находим соответствующее η ηk . Затем вычисляем момент поступления заявки Tk 1 Tk ηk .

Свободна ли 1-я линия? Проверяем условие t1 Tk 1 . Если усло-

вие выполнено, то к моменту Tk 1 линия 1 свободна и может об-

служить эту заявку. Мы должны заменить t1 на Tk 1 tз , добавить

1 к счетчику выполненных заказов и перейти к следующей заявке.

101

Если условие t1 Tk 1 не выполнено, то это значит, что 1-я ли-

ния в момент Tk 1 занята. Тогда проверяем, свободна ли 2-я линия?

Если условие t2 Tk 1 выполнено, то заменяем t2 на Tk 1 tз , до-

бавляем 1 к счетчику выполненных заявок и переходим к следую-

щей заявке. Если t2 Tk 1 , то проверяем t3 Tk 1 и т.д.

Если ti Tk 1 , i 1,..., n , то в момент Tk 1 все линии заняты. То-

гда надо добавить 1 в счетчик отказов и перейти к рассмотрению следующей заявки.

Каждый раз, вычислив Tk 1 , проверяем условие Tk 1 Tкон . Ес-

ли Tk 1 Tкон , то опыт закончен и в счетчике выполненных заявок будет стоять μвып , в счетчике отказов μотк .

Такой опыт повторяется N раз (с использованием различных ) и

вычисляем

1 N

Mμвып N μвып i , i 1

1 N

Mμотк N μотк i , i 1

μвып i , μотк i – значения выполненных опытов и отказов в i-м

опыте.

Возможны более сложные системы:

1)tз может быть не постоянным, а случайным и также разыг-

рываться;

102

2)могут рассматриваться системы с ожиданием ( tп – время

пребывания заявки в системе);

3)рассмотреть системы, где заявки принимает та линия, кото-

рая освободится раньше всех;

4)можно учесть случайный выход из строя отдельных линий;

5)поток заявок нестационарный и т.д.

Примеры применения указанной схемы к решению практиче-

ских задач обслуживания:

покупателей в супермаркете, где в качестве линий рассматри-

ваются кассы;

клиентов в сбербанке, на почте, в кафе, ресторане;

пассажиров при посадке в самолет и после благополучной по-

садки самолета;

больных в поликлинике, скорой помощи и т.д.

4.2. Расчет прохождения нейтронов сквозь пластинку

Постановка задачи [14, 20, 24]

Пусть на однородную бесконечную пластинку 0 x h падает поток нейтронов с энергией E0 . Угол падения равен 90°.

Предположим для простоты, что энергия нейтрона при рассея-

нии не меняется и любое направление «отскока» нейтрона от атома равновероятно. Возможны случаи, представленные на рис 4.1, где нейтрон:

а) проходит сквозь пластинку;

б) поглощается;

103

в) отражается.

Требуется определить:

p – вероятность прохождения нейтрона сквозь пластинку; p – вероятность отражения нейтрона пластинкой;

p0 – вероятность поглощения нейтрона пластинкой.

Используется равенство

c s ,

где – полное сечение, c – сечение поглощения (capture), s –

сечение рассеяния (scattering).

При столкновении нейтрона с атомом вещества вероятность по-

глощения p1 c , вероятность рассеяния p2 s .

Длина свободного пробега нейтрона (т.е. длина пути от столк-

новения до столкновения) – это случайная величина с плотностью распределения

p x exp x , x 0 .

Формула для разыгрывания :

104

λ 1 ln γ ,

где равномерно распределена в (0,1).

Как выбрать случайное направление нейтрона после рассеяния:

требование равновероятности любого направления означает, что

μ cosθ , 0 θ π , равномерно распределено в (–1,1). Формула для разыгрывания : μ 2γ 1, равномерно распределена в (0,1).

Моделирование траекторий представлено на рис. 4.2.

Пусть нейтрон испытал k-е рассеяние внутри пластинки в точке

полнено, то добавляем 1 к счетчику отраженных частиц; если усло-

вие xk 1 0 тоже не выполнено, то 0 xk 1 h . Следовательно,

нейтрон после (k+1)-го столкновения остался внутри пластинки и надо разыграть «судьбу» нейтрона при столкновении.

Выбираем очередное значение и проверяем условие поглоще-

ния γ p1 . Если оно выполнено, то счет траекторий заканчивается и добавляем 1 к счетчику поглощенных частиц. Если γ p1 , то

считаем, что нейтрон испытал рассеяние в точке с абсциссой xk 1 .

Тогда разыгрываем новое направление движения нейтрона

μk 1 2γ 1 и повторяем весь цикл снова.

Итак, для расчета одного звена цепи разыгрываются три значения :

1)– длина свободного пробега нейтрона;

2)направление движения нейтрона после рассеяния;

3)при столкновении с атомом вещества происходит поглоще-

ние с вероятностью p1 или рассеяние с вероятностью p2 1 p1 .

Существуют разновидности метода Монте-Карло при решении

данной задачи:

использование весов [24];

могут быть различные вещества (переменные , ),

пластинка – трехмерная, может иметь различную геометри-

ческую структуру;

можно учесть различные физические процессы: деление атома при столкновении с нейтроном, образование новых нейтро-

нов и т.д.

4.3. Анализ риска при производстве принтеров фирмой

Фирма Porta Com производит новый принтер и исследует вопрос получения возможной прибыли от его продажи [32].

Предполагаются следующие цены, y.e:

цена продажи за единицу – 249;

административная цена (зарплата руководителя фирмы, за-

местителя, секретаря и т.д.) – 400 000;

цена рекламы – 600 000.

Введем следующие обозначения: П – прибыль, C1 – рабочая стоимость единиц, C2 – остальные расходы на единицу (хранение,

упаковка и т.д.), x – спрос за 1-й год.

Предполагаем, что распределение случайной величины C1 дис-

кретно согласно табл. 4.1.

107

Распределение вероятностей остальных расходов C2 – равно-

мерное распределение (80, 100), рис. 4.3.

Формула для разыгрывания C2 80 20γ , равномерно распре-

делена в (0,1).

Случайная величина х имеет усеченное нормальное распределе-

ние N a,ζ , a=15000, ζ 4500 , x 1500, 28500 , рис. 4.4, фор-

мула для разыгрывания η ζξ a , N 0,1 .

108

Моделирование прибыли осуществляется по схеме, изображен-

ной на рис. 4.5.

На рис. 4.6 изображена гистограмма для прибыли при N 500

испытаний.

109

На основании проведенных N 500 испытаний получены ре-

зультаты:

оценка математического ожидания, у.е.……. 698 457

оценка дисперсии, у.е.……………………….. 520 485

минимум, у.е.………………………………...... –785 234

максимум, у.е.……………………………….... 2 367 058

число потерь……………………………........... 51

Следовательно, вероятность убытка 0,102.

4.4. Моделирование времени ожидания

Имеется автоматическая линия связи (АЛС), которая может иметь несколько каналов [32].

Считаем, что между звонками клиентов распределение времени равномерное – 0,5 мин (рис. 4.7).

110