Savelova_Metod_Monte-Karlo_2011

Доказательство можно найти в [24].

Для формирования случайных чисел, имеющих десятичную форму представления длины n, используются случайные цифры подряд из таблицы или датчика. Существуют три способа опреде-

ления случайных чисел:

1)таблицы случайных чисел;

2)датчики случайных чисел;

3)псевдослучайные числа.

Впервые таблица из 106 случайных цифр была опубликована в США в 1955 г. [35]. Достоинство таблицы – то обстоятельство, что проверка свойств чисел однократная, повторять можно, а к недос-

таткам можно отнести то, что запас чисел ограничен и таблица за-

нимает много места в памяти вычислительной техники.

Датчики случайных чисел обычно основаны на физическом принципе («электронная рулетка», например, генераторы случай-

ных импульсов). Достоинства метода получения случайных чисел:

запас чисел неограничен, место в накопителе вычислительной сис-

темы не занимает, скорость получения чисел сверхбыстрая (можно создать систему m 1 датчиков, каждый такт – набор из m чисел).

Недостатки данного метода: во-первых, то, что требуется периоди-

ческая проверка, так как возможны сбои системы; повторить цикл нельзя; во-вторых, необходима специальная приставка (датчик).

Псевдослучайные числа – это числа, которые вычисляются по некоторым формулам и могут считаться случайными для решения некоторого класса задач. Достоинства псевдослучайных чисел:

проверка однократная, повторять можно, занимает мало места в

61

памяти, скорость получения порядка скорости работы электронной техники. Недостаток – ограниченность запаса чисел, поскольку все известные алгоритмы создания псевдослучайных чисел имеют ко-

нечный период.

Рассмотрим датчик Дж. Неймана, 1951 г. [24,25].

Пример 2.1 (метод середины квадратов)

Пусть γ0 0, a1...a4 , γi 1 γi ,

γi2 0,b1...b8 , γi 1 0,b3...b6 .

Имеем

γ0 0,9876,

γ02 0,97535376, γ1 0,5353,

γ12 0, 28654609, γ2 0,6546,

γ22 0,42850116, γ3 0,8501 и т.д.

Этот алгоритм получения псевдослучайных чисел оказался пло-

хим – выдает значительно больше чисел из промежутка γ 12 , чем

из промежутка γ 12 .

62

Существуют статистические тесты для проверки свойств датчи-

ков случайных чисел. Система тестов является обширной, если мы хотим рассматривать исходную последовательность чисел как по-

следовательность независимых реализаций случайной величины .

Приведем примеры некоторых тестов.

Рассматривается частота цифр данной последовательности из

N цифр и составляется статистика Пирсона:

νi – количество цифр i, i 0,...,9 , в данной совокупности. Стати-

стика (2.2) удовлетворяет χ92 распределению с девятью степенями свободы.

Далее рассматривается частота пар

ε1,ε2 , ε3,ε4 ,...,

63

Отметим, что указанные примеры используемых тестов должны работать не только для всей последовательности чисел, но и для ее части, так как при решении конкретной задачи мы можем исполь-

зовать не всю последовательность. Могут возникнуть проблемы,

когда при решении задачи нам недостаточен запас псевдослучай-

ных чисел в рамках его периода. Вычислители используют данный датчик, пополняя последовательность запусканием его сначала.

При этом можно получить неверный результат [4].

Приведем примеры получения псевдослучайных чисел [8]. Ряд примеров основан на использовании вычетов.

Пример 2.2. Лемер (Lehmer D.H., 1949) использовал рекуррент-

ное соотношение для ЭВМ ЭНИАК (десятичная система счисле-

ния):

γi 1 kγ j mod M ,

где k 23 , M 108 1. Получена последовательность восьмизнач-

ных десятичных чисел с периодом 5 882 352.

Пример 2.3. Тошер (Tocher K.D., 1954) использовал соотношение

γ j 1 2 42 β j , β j 1 517 β j mod 242 , β0 1 .

Такая совокупность чисел имеет период 240 1012 цифр.

Пример 2.4 .Имеются способы образования равномерно распре-

деленных случайных чисел с помощью ряда типа Фибоначчи:

F0 0 , F1 1,

γ j 1 M1 Fj 1 , Fj 2 Fj 1 Fj mod M .

65

Для ЭВМ СЕАК применяется M 244 , при этом длина образуемо-

го периода равна примерно 2,5 1013 .

Изложение некоторых вопросов, связанных с разработкой алго-

ритма получения псевдослучайных чисел и их тестированию, мож-

но найти в [8, 14, 24].

В приложении 1 приведен алгоритм псевдослучайных чисел для персональных компьютеров.

2.3. Методы моделирования одномерных случайных величин

Рассмотрим моделирование дискретных случайных величин.

Пусть – случайная величина, имеющая закон распределения

66

Теорема 2.2. Выберем случайное число , равномерно распреде-

ленное в (0,1). Если γ i , то ξ xi .

Доказательство. Имеем

P ξ xi P γ i i pi .

Теорема 2.2 доказана.

Проще всего моделирование дискретной случайной величины с равновероятными значениями:

Моделирование непрерывной случайной величины со строго монотонной функцией распределения.

Теорема 2.3 (метод обратных функций). Выбираем случайную равномерно распределенную величину γ 0,1 . Пусть – корень уравнения F ξ γ . Тогда F x есть функция распределения слу-

чайной величины .

67

Доказательство. Имеем цепочку равенств (рис. 2.3):

P x ξ x x P F x F ξ F x x

P F x γ F x x F x x F x F x x p x x ,

x x x x .

Из уравнения F ξ γ находим ξ F 1 γ , где F 1 – обратная функция к F x .

Теорема доказана.

Пример 2.5. Пусть ξ 0 – случайная величина, распределенная по показательному закону распределения с плотностью

p x ae ax , x 0 , параметр a 0 .

В силу строгой монотонности функции распределения

F x 1 eax , x 0 ,

применяем метод обратных функций

1 eaξ γ ,

откуда получаем

68

ξ 1a ln γ ,

поскольку и (1– ) имеют одно и то же равномерное распределе-

ние на интервале (0,1).

Пример 2.6. Для моделирования случайной величины N 0,1 ,

распределенной по нормальному закону с параметрами a Mξ 0

и ζ2 Dξ 1 , метод обратных функций дает

равномерно распределена в (0,1).

Однако уравнение (2.5) не используется для моделирования случайной величины N 0,1 , так как уравнение (2.5) в явном виде неразрешимо и для приближенного его решения при получе-

нии массива нормально распределенных случайных величин по-

требуется достаточно много компьютерного времени.

Для моделирования нормальной случайной величины

N 0,1 , используется центральная предельная теорема

интервале (0,1) случайные величины с характеристиками Mγ 12 ,

69

i 1

получается достаточно хорошее приближение к нормальному зако-

ну распределения.

С помощью специальных преобразований удается увеличить скорость сходимости к нормальному закону. Например, имеем [14]:

Моделирование нормальной случайной величины N a,ζ с

числовыми характеристиками a Mη , ζ2 Dη осуществляется с помощью преобразования

η ζξ a ,

где N 0,1 , .

70