Savelova_Metod_Monte-Karlo_2011

На рис. 1.1 изображены распределенные по нормальному закону случайные величины N 0,ζ , ζ 0,4; 1; 2,5 .

называется интегралом ошибок (есть другие варианты интеграла ошибок), существуют таблицы для использования его значений в расчетах.

Для случайной величины, распределенной по нормальному за-

кону N a,ζ , справедливо правило «трех сигм»:

P a 3ζ ξ a 3ζ 0,997 .

11

Это значит, что из 1000 точек, распределенных по закону N a,ζ ,

вообще говоря, только три не попадают в интервал a 3ζ, a 3ζ

(рис. 1.2).

Пусть ξ – случайная величина, для которой Dξ . Тогда

имеет место неравенство П.Л. Чебышева:

P ξ Mξ h Dh2ξ ,

где h 0 произвольно.

Имеет место теорема (закон больших чисел П.Л. Чебышева).

Пусть ξ1,ξ2 ,...,ξn ,... – последовательность попарно независи-

мых случайных величин с равномерно ограниченными дисперсия-

Справедлива центральная предельная теорема (ЦПТ) Линде-

Следовательно, при n 1 имеет место приближенное равенство

которое используется в методе Монте-Карло для оценки точности приближенных вычислений.

В дальнейшем нам понадобятся некоторые распределения, ко-

торые встречаются довольно часто в различных приложениях тео-

рии вероятностей.

Распределение χ 2 с n степенями свободы определяется плотно-

стью

Имеет место теорема Пирсона.

Если ξ1,...,ξn независимы и распределены по нормальному за-

кону распределения с n степенями свободы.

На рис. 1.3 приведены графики плотности распределения χ 2

при n = 1, 3, 5, 10.

13

Распределение Стьюдента с m степенями свободы имеет плот-

ность

Имеет место теорема Стьюдента.

Пусть ξ и η – независимые случайные величины, ξ распреде-

лена по нормальному закону N (0,1) , а η подчиняется закону χ 2 с m степенями свободы. Тогда случайная величина

t m ξ

η

14

подчиняется закону распределения Стьюдента с m степенями сво-

боды.

При m t распределение Стьюдента стремится к нормаль-

ному закону распределения. На рис. 1.4 приведены графики рас-

пределения Стьюдента при m 4 и плотность нормального рас-

пределения N 0,1 .

1.2. Выборка. Выборочные оценки числовых характеристик случайных величин

распределения искомой случайной величины, а ξ ξ1,...,ξn – вы-

15

борочный вектор, представляющий собой взаимно независимые

компоненты, имеющие одно и то же распределение. Выборкой

будем обозначать реализации выборочного вектора

xx1,..., xn

ξ .

Примечание. Случайная величина обозначается буквой ξ . Соот-

ветственно выборка – ξ ξ1,...,ξn . Значения случайной величины

некоторых случаях мы будем отождествлять эти понятия, как, на-

пример, при взятии интегралов для вычисления математического ожидания, дисперсии и т.д.

Величина

i 1

называется функцией правдоподобия и представляет собой плот-

оценкой величины η θ .

Пример 1.1. Случайная величина ξ имеет неизвестные парамет-

ры – математическое ожидание a и дисперсию ζ2 . Дана выборка x1, x2 ,..., xn объема n. Для a предложена оценка

1 n

x n xi .

i 1

16

Для ζ2 – оценки

следовательно, плотность распределения равна

Имеем числовой пример для θ 1, n=10,

t1 1,325 , t2 0,871, t3 0,958 .

Из примеров 1.1, 1.2 видно, что для одной и той же величины могут быть предложены разные оценки, и надо знать свойства оце-

нок, чтобы уметь сравнивать их между собой.

18

1.3. Требования к оценкам: несмещенность, состоятельность, эффективность

n . Поэтому говорят, что оценка – асимптотически несмещен-

ная.

Пример 1.2 (продолжение)

Оценки t1 и t3 – несмещенные, но оценка t1 имеет большую дисперсию, чем оценка t3 при n 1 . Оценка t2 является асимпто-

тически несмещенной и при n 100 практически мало чем отлича-

ется от оценки t3 .

Определение 1.2. Оценка t(x) для величины θ называется

несмещенной оценкой с минимальной дисперсией, если для любой

Dt(x) Dt1(x) .

Теорема 1.1 (единственности несмещенной оценки с минималь-

ной дисперсией)