Savelova_Metod_Monte-Karlo_2011

n

ln L x,θ1,θ2

n

1

xi θ1

2 0 .

2θ22

θ2

2θ2

i 1

ˆ

1

n

θ1

xi x ,

n i 1

ˆ

1

n

2

2

θ2

xi θ1

s1 .

n i 1

1

n

θ1

xi x ,

n i 1

1

n

2

2

2

θ2

xi

θ1

s1 .

n i 1

1

x

1

1

p x,θ

θ

, 0 x 1,

θ

31

и неизвестным параметром

θ 0

ранее была получена оценка

ММП:

ˆ

1

n

1

θ

ln

.

n

x

i 1

i

1

1

1

1

α Mξ

xθ dx

,

1

θ

1 θ

0

1

n

α1 m1

xi .

n i 1

t θ t

P

β .

(1.17)

Обычно

рассматривают значения

β 0,90; 0,95; 0,99;

0,999.

Пусть Ft z

– функция распределения оценки t(x) :

32

Ft (z) P t(x) z η z t(x) L x,θ dx

,

Ft zβ

1 β

,

2

Ft zβ

1 β

.

2

P zβ z zβ Ft zβ Ft zβ

1 β

1 β

β ,

2

2

1

n

x

xi .

n i 1

Величина x имеет нормальное распределение

ζ

N a,

, так как

n

Mx a ,

Dx

1

nDξ

ζ2

n2

n

x a

1

z

u2

P z

z

e

2 du (z) .

ζ

n

2π

z

Выберем zβ из уравнения zβ β . Тогда имеем равенство

ζ

ζ

ζ

ζ

P zβ

x a zβ

P x zβ

a x zβ

β .

n

n

n

n

ζ

ζ

а x zβ

, x zβ

с коэффициентом доверия β .

n

n

Задача 2.

Требуется по выборке x1,..., xn , состоящей из эле-

ским ожиданием a Mξ,

найти оценку и доверительный интервал

для неизвестного параметра .

Решение. Пусть для ζ2

оценка имеет вид

1

n

s2

(xi a)2 .

n i 1

Очевидно, что случайная величина

xi

a

N 0,1 .

ζ

Следовательно, по теореме Пирсона величина

ns2

n

x

a 2

i

ζ2

ζ

i 1

подчиняется χ n2 с n степенями свободы.

Пусть выполнено уравнение

z±

β

1 β

χn2 x dx

.

0

2

Тогда имеем равенство

z

ns2

β

2

P zβ

zβ

χn (x)dx β ,

2

ζ

z

β

2

2

ns

2

ns

ζ

β .

P

zβ

zβ

36

Задача

3.

По

выборке

x1,..., xn

случайной

величины

ξ N a,ζ

с неизвестными параметрами a и ζ найти доверитель-

ные интервалы с коэффициентом доверия β .

Теорема 1.6 (теорема Фишера). Пусть

для математического

ожидания и дисперсии предложены оценки

1

n

x

xi ,

n i 1

1

n

s2

(xi a)2 .

n i 1

Тогда x и s2

независимы между собой. Величина

ns2

подчиняет-

ζ2

ся χ 2

распределению с (n 1) степенями свободы.

n 1

Доказательство.

Пусть

C Cij , i, j 1,..., n

– ортогональная

матрица для преобразования случайных величин

x1,..., xn , для ко-

торой выполнено

n

1, i j,

Cik C jk

δij

k 1

0, i j,

n

CkiCkj

δij ,

k 1

C

1

, i 1,2,..., n .

ni

n

x a

x a

t

ζ

n

n 1

n 1

s

ns

2

ζ2

P zβ

x a

zβ

zβ

zβ

Sn 1(x)dx 2

Sn 1(x)dx β . (1.22)

n 1

s

zβ

0

zβ s

zβ s

β .

P x

a x

n 1

n 1

Для получения доверительного интервала для параметра

ζ2 вос-

пользуемся тем, что случайная величина

ns2

имеет χ n2 1 распреде-

ζ2

ление с (n –1) степенями свободы.

Следовательно, выполняется уравнение

ns

2

P z

z β ,

(1.23)

β

ζ2

β

z±

β

1 β

χn2 1(x)dx

.

2

0

39