Savelova_Metod_Monte-Karlo_2011

Таким образом, данные не приводят к выводу, что апельсино-

вый сок дает большее прибавление в весе, чем молоко.

Задания на самостоятельную работу

Задание 1. Смещенность, эффективность и состоятельность оценок. ММ и ММП получения оценок

1. Случайная величина имеет неизвестные математическое

Какие из предложенных оценок смещенные, несмещенные?

2.Доказать, что если две случайные величины ξ1 , ξ2 имеют

ную оценку параметра .

4.Случайная величина имеет Mξ a , а ее дисперсия ζ2 не-

известна. По независимой выборке x1,..., xn для ζ2 предложена

51

ным моментом 4-го порядка M ξ a 4 , доказать, состоятельность

оценки s12 .

5.Доказать, что выборочный момент порядка

есть несмещенная и состоятельная оценка момента mν Mξν .

6.Доказать, что выборочный момент порядка асимптотиче-

ски нормален.

7. Доказать, что оценка математического ожидания нормально распределенной случайной величины, полученной ММП, эффек-

тивна.

8. Доказать, что оценка дисперсии нормально распределенной случайной величины, полученной ММП, будучи неэффективной,

эффективна асимптотически.

9.Для распределения Пуассона

найти оценку ММП для параметра . Доказать, что полученная оценка несмещенная, состоятельная и эффективная.

10. Произведено n независимых испытаний, каждое из которых может иметь своим исходом событие А с неизвестной вероятно-

стью p. Найти для p оценку ММП.

52

11. Случайная величина распределена с плотностью

Параметр задан, для С требуется найти оценку ММП.

12. Случайная величина распределена по биномиальному за-

кону с параметрами N и p, т.е.

P ξ k CNk pk 1 p N k , k 0,1,..., N

(N известно, p неизвестно). Найти для p оценку ММП. Доказать,

что такая оценка несмещенная, эффективная и состоятельная.

13. Неотрицательная случайная величина имеет «двойное пу-

ассоновское распределение», т.е.

Независимые измерения дали значения k1,..., kn . Найти для λ1 и λ2

оценки методом моментов.

14. Неотрицательная случайная величина имеет «гамма-

распределение», т.е. плотность

Параметр p задан, параметр неизвестен. Указать оценку ММП для .

53

Задание 2. Доверительные интервалы. Эмпирическая функция распределения. χ 2 – критерий проверки гипотез

ораспределении

1)Пусть x1,..., xn – независимая нормально распределенная

2)Имеется выборка объема 8 из совокупности нормально рас-

3)Для выборки (*) построить эмпирическую функцию рас-

пределения. Найти оценку Mξ и Dξ .

4)Дана выборка:

Проверить гипотезу о равномерном распределении с помощью критерия χ 2 .

5)Доказать, что эмпирическая функция распределения явля-

ется несмещенной и состоятельной оценкой функции распределе-

ния.

6)Доказать, что сумма двух независимых, распределенных по нормальному закону случайных величин, распределена нормально.

7)Доказать, что сумма двух независимых, распределенных по

закону χ 2 распределений, распределена также по закону χ 2 , при-

Требуется проверить совместимость этих данных с гипотезой о том, что монета является симметричной, т.е. вероятности выпаде-

ния «герба» и «решетки» равны:

p1 p 12 ; p2 q 1 p 12 .

9)Построить доверительный интервал для разности матема-

тических ожиданий двух нормально распределенных случайных

55

величин : N a1,ζ12 , : N a2 ,ζ22 с неизвестными математиче-

скими ожиданиями a1 , a2 и известными дисперсиями ζ12 , ζ22 по выборкам

: x1,..., xm , : y1,..., yn .

10) Та же задача, что и 9, неизвестные a1 , a2 , также выполнено

ζ12 ζ22 ζ2 .

56

… Одним из простейших механических приборов для получения случайных чисел является… рулетка. Стоит ответить на часто задаваемый вопрос: «Помогает ли

метод Монте-Карло выигрывать в рулетку?»

Нет, не помогает. И даже не занимается этим.

И.М. Соболь

Глава 2. Статистическое моделирование случайных величин

2.1. Введение в численные методы Монте-Карло

Метод Монте-Карло определяется как метод статистического моделирования случайных величин с целью вычисления характе-

ристик их распределений. Как правило, предполагается, что моде-

лирование осуществляется с помощью компьютерных программ.

Идея метода статистических испытаний известна давно. Напри-

мер, с 1873 г. известен способ вычисления числа с помощью слу-

чайных бросаний иглы на разграфленную параллельными линиями бумагу [14, 30]. Считается, что систематически метод Монте-Карло стал изучаться начиная с работы Метрополиса и Улама [33]

(1949 г.).

Первоначально метод Монте-Карло использовался в основном для решения задач нейтронной физики (где традиционные числен-

ные методы оказались малопригодными). Затем для решения ши-

рокого класса задач статистической физики. Метод Монте-Карло очень быстро завоевал популярность в решении различных при-

57

кладных задач, в первую очередь – задач теории массового обслу-

живания, теории игр, математической экономики, теории передачи информации при наличии помех и т.д. [14, 24, 25].

Метод Монте-Карло используется не только для решения мате-

матических задач, имеющих вероятностную постановку, но и за-

дач численного интегрирования, а также систем алгебраических уравнений, задач оптимизации, особенно систем нелинейных урав-

нений [4].

В настоящее время круг задач, решаемых методом статистиче-

ских испытаний, очень широк и постоянно растет. Этот метод ис-

пользуется для решения прикладных задач из большого количест-

ва областей науки и техники, и соответствующие работы, выпол-

ненные на разном уровне, разбросаны по многочисленным источ-

никам информации.

В зарубежной литературе процесс моделирования прикладных задач с целью дальнейшего их решения методом статистических испытаний принято называть имитацией (simulation).

Особенностью метода Монте-Карло является оценка точности по вероятности. Для этого может быть использован закон больших чисел. Пусть ξ1,...,ξn независимые одинаково распределенные слу-

чайные величины, для которых Mξi a, Dξi ζ2 , i 1,..., n . Тогда для любого h 0 имеет место неравенство Чебышева:

P ηn a h ζ22 , nh

58

Есть другие усиленные варианты закона больших чисел [14].

Для оценки точности используется также центральная предель-

ная теорема (см. раздел 1.1). При этом погрешность имеет вид

при моделировании случайной величины . Из формулы для оцен-

ки точности видно, что для увеличения точности в 10 раз число ис-

пытаний нужно увеличить в 100 раз. Поэтому методом Монте-

Карло, как правило, решают задачи, где не требуется получение высокой (5–10 %) точности. Помимо этого часто удается решать задачу различными способами метода Монте-Карло и можно найти случайную величину с меньшей дисперсией Dξ (этот прием ис-

пользуется в главе 3 при вычислении определенных интегралов методом Монте-Карло).

Таким образом, суть метода Монте-Карло заключается в сле-

дующем. Нужно вычислить величину a. Следует придумать слу-

чайную величину , математическое ожидание которой равно a,

несмещенная и состоятельная оценка величины a.

Задача 1. Как придумать случайную величину ?

Задача 2. Как моделировать случайную величину ?

59

В последующих параграфах данной главы рассмотрим решение

задачи 2.

2.2. Статистическое моделирование независимых равномерно распределенных случайных величин

Пусть случайное число равномерно распределено в интервале

(0,1). Запишем это число в виде десятичной дроби

γ 0,ε1ε2...εk ...

или

k 1

Случайная цифра – это дискретная случайная величина, имею-

щая закон распределения в десятичной системе представления

Теорема 2.1. Если – случайное равномерно распределенное число (2.1), то ε1,...,εk ,... – независимые случайные цифры. Верно и обратное утверждение: если ε1,...,εk ,... – независимые случайные цифры, то формула (2.1) определяет случайное число.

60