Savelova_Metod_Monte-Karlo_2011

12.Гренандер И. Вероятности на алгебраических структурах. М.: Мир, 1965, с. 275.

13.Деврой Л., Дьѐрфи Л. Непараметрическое оценивание плотности. М.: Мир, 1988, с. 407.

14.Ермаков С.М. Метод Монте-Карло и смежные вопросы. М.:

Наука, 1975, с. 471.

15.Крамер Г. Математические методы статистики. М.: Мир, 1976, с. 648.

16.Крянев А.В., Лукин В.Г. Математические методы обработки неопределенных данных. М.: ФМЛ, 2003, с. 214.

17.Левитан Ю.Л., Соболь И.М. О датчике псевдослучайных чисел для персональных компьютеров // Математическое моделирование,1990, Т. 2, № 8, с. 119–126.

18.Мардиа К. Статистический анализ угловых наблюдений. М.:

Наука, 1978, с. 240.

19.Натан А.А., Гобачев О.Г., Гуз С.А. Математическая статистика. М.: М3 Пресс, 2004, с. 157.

20.Панин В.П. Моделирование переноса излучения. М.: Тровант, 2008, с. 212.

21.Пугачев В.С. Теория вероятностей и математическая статистика. М.: Наука, 1979, с. 496.

22.Савелова Т.И., Бухарова Т.И. Представления группы SU(2) и их применение. М.: МИФИ, 1996, с. 114.

23.Савелова Т.И., Иванова Т.М., Сыпченко М.В. Применение нормальных распределений на SO(3) в текстурном анализе. М.: НИЯУ МИФИ, 2010, с. 104.

131

24. Соболь И.М. Численные методы Монте-Карло. М.: Наука,

1973, с. 378.

25) Соболь И.М. Метод Монте-Карло. М.: Наука, 1985, с. 78.

26.Соболь И.М., Статников Р.Б. Выбор оптимальных параметров в задачах со многими критериями. М.: Наука, 1981, с. 110.

27.Сборник задач по теории вероятностей, математической статистике и теории случайных функций / Под ред. А.А. Свешникова, М.: Наука, 1970, с. 656.

28.Хампель Ф., Рончетти Э., Рауссеу П., Штаэль В. Робастность в статистике: подход на основе функции влияния. М.: Мир, 1989, с.

512.

29.Худсон Д. Статистика для физиков. М.: Мир, 1970, с. 296.

30.Чистяков В.П. Курс теории вероятностей. М.: Наука, 1987,

с. 240.

31.Хьюбер П. Робастность в статистике. М.: Мир, 1984, с. 303.

32.Hoy M., Livernois J., McKenna Ch., Rees R., Stengos Th. Mathematics for economics. Department for Economics University of Guelph, Addison – Wesley Publishers Limited, 1996, p. 821.

33.Metropolis N., Ulam S. The Monte Carlo method. J. Amer. Assoc., 1949, v. 44, № 247, p. 335–341.

34.Parthasarathy K.P. The central limit theorem for the rotation group.

Теория вероятностей и ее применения, 1964, v. 9, No. 9, с. 273–282. 35. Rand Corporation. A million random digits with 1 000 000 normal deviats – Glencoe: The Free Press, 1955.

132

Приложение 1

О датчике псевдослучайных чисел для персональных компьютеров

В работе [17] исследуется датчик псевдослучайных чисел, пред-

ложенный в [Вичмэн Б.A., Хилл И.Д. An efficient and portable pseudo - random number generator. Appl. Statistics, 1982, v. 31, №2, р. 188

– 190].

Здесь предлагается считать одновременно три последовательно-

сти

mi 171mi 1 mod30269 , m0 – задано,

а в качестве псевдослучайных чисел использовать дробные доли:

Так как все три модуля – простые числа, то длина периода по-

следовательности γ1, γ2 ,... равна произведению

30269 30307 30323 2,78 1013 .

Основные достоинства предложенного датчика очевидны – краткость программы, простота реализации, огромный период.

Однако авторам [17] некоторые утверждения Вичмэна и Хилла показались недостаточно обоснованными.

Для проверки качества исходного датчика использовалась сле-

дующая система тестов.

133

Предполагается, что k-мерные случайные точки с независимыми декартовыми координатами

γ1,...,γk , γk 1,..., γ2k , γ2k 1,..., γ3k ,...

равномерно распределены в k-мерном единичном кубе при каждом k .

Это свойство необходимо и достаточно для успешной реализа-

ции алгоритмов Монте-Карло с конструкторной размерностью k .

С помощью критерия χ 2 проверялось распределение соответст-

вующих псеводослучайных точек, ограничиваясь размерностями k 1,..., 4 . Проверялось также распределение серий.

Так как для моделирования различных задач могут потребовать-

ся группы чисел γ1,..., γN различной длины, то проверялись группы при N 600 2s , s 0,1,...,11. Для некоторых вариантов начальных значений проверка была продолжена при s =12,13, а для отобран-

ного наилучшего варианта – при s 14. В качестве критерия выби-

ралось худшее (наибольшее) значений χ 2 при всех рассматривае-

мых N.

Предельные функции распределения

t

lim P χ2 t kr 1 x dx

N N

0

зависят от количества r областей разбиения каждого куба (здесь

134

В статистических таблицах приведены корни уравнения

χ2 χ2 m, P :

km x dx P ,

χ2

называемые обычно квантилями. Слишком малые P означают, что данные эксперимента не подтверждают гипотезы.

Система тестов

135

N 600 2s .

Рассмотрим вопрос выбора начальных значений датчика. В ра-

боте Вичмэна и Хилла рекомендуется выбирать начальные значе-

ния m , m , m случайно. Было проверено 36 вариантов началь-

0 0 0

ных троек, каждая из которых состояла из натуральных чисел

(3, 1, 2), (5, 11, 17), (1, 2, 3),… .

Среди них оказалось 17 таких, для которых хотя бы один крите-

рий превышает 1%-ный уровень значимости. Среди этих 17–4

«очень плохих» варианта: в двух более одного критерия, превы-

шающего 1%-ный уровень, в двух других – один из критериев пре-

вышает 0,1%-ный уровень (кроме того, в каждом из этих вариантов еще два критерия превышают 10%-ные уровни). Интересно отме-

тить, что среди наихудших троек оказалась тройка (11, 5, 17), в то время как тройки (5, 11, 17) и (5, 17, 11) признаны в [17] наилуч-

шими.

137

Приложение 2

Численные эксперименты использования метода Монте-Карло для моделирования ориентаций зерен поликристаллов в текстурном анализе

Многие материалы естественного и искусственного происхож-

дения (минералы, металлы, сплавы, керамики и т. д.) являются по-

ликристаллами. Поликристалл состоит из кристаллов какого-либо вещества, называемых из-за неправильной формы кристаллитами или кристаллическими зернами. В зависимости от того, как распо-

ложены атомы в кристаллите, можно выделить различные виды кристаллических структур. Металлы преимущественно кристалли-

зуются в одном из трѐх типов структур: объемно-центрированной кубической (ОЦК), гранецентрированной кубической (ГЦК) или гексагональной (ГПУ), которые в природе представлены практиче-

ски равномерно [Готтштайн Г. Физико-химические основы мате-

риаловедения. М.: Бином, 2009, с. 400]. Гексагональная решетка состоит из плотноупакованных гексагональных слоев и полностью содержит два атома. Ось c по величине отличается от оси a

(рис. П.2.1).

Рис. П.2.1. Утроенная элементарная ячейка при гексагональной структуре

138

Кристаллит обладает шестью степенями свободы, три из кото-

рых отвечают за пространственное положение зерна, остальные три

определяют его ориентацию (рис.П.2.2)

Рис. П.2.2. Схематическое изображение образца и кристаллита

С математической точки зрения, под ориентацией понимается вращение g ( g SO(3) ), которое совмещает систему координат,

связанную с зерном, с системой координат, связанной с поликри-

сталлом.

Физические свойства (магнитные, оптические, электрические и т.д.) поликристаллов во многом зависят от свойств зѐрен, в частно-

сти объясняются наличием кристаллографической текстуры. Если зѐрна ориентированы хаотически (рис. П. 2.3, а), то в поликристал-

ле не проявляется анизотропия физических свойств, характерная для монокристаллов (рис. П.2.3, б). Если в поликристалле возмож-

139

но выделить преимущественную кристаллографическую ориента-

цию зѐрен (рис. П.2.3, в), то поликристалл является текстурирован-

ным и, в этом случае, обладает анизотропией свойств[23].

Рис. П.2.3. Модели кристаллографических текстур: а – хаотически расположенные кристаллиты;

б – идеально ориентированные кристаллиты (монокристалл); в – многокомпонентная кристаллографическая текстура

Для математического описания текстуры используется трехмер-

ная функция распределения зерен (ФРО) по ориентациям [23].

Данная функция зависит от трех углов Эйлера и определяет веро-

ятность обнаружить в образце зерно с заданной ориентацией g (g SO(3)). В случае если текстура описывается ЦНР, то ФРО мо-

жет быть представлено в виде (5.7).

ФРО даѐт полное представление о кристаллографической ори-

ентации зерен во всем объеме поликристалла, однако из-за много-

мерности является тяжелой для понимания и представления. Для многих прикладных задач достаточно иметь информацию о проек-

циях ФРО на некоторые выделенные направления в образце. Дан-

ные проекции называются полюсными фигурами (ПФ).

140